tìm x biết (x-3)^3+(2x-1)^3=(3x-4)^3
Chúng ta sẽ cùng nhau giải bài toán tìm x biết (x-3)^3+(2x-1)^3=(3x-4)^3.
Đầu tiên, các em hãy quan sát đề bài. Chúng ta thấy có ba lũy thừa bậc ba. Điều này gợi cho chúng ta nghĩ đến hằng đẳng thức nào nhỉ? À, đó chính là hằng đẳng thức về lập phương của một tổng:
(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
(a-b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3
Tuy nhiên, việc khai triển cả ba biểu thức này ra rồi quy đồng, rút gọn sẽ rất phức tạp và dễ sai sót. Chúng ta hãy thử xem có cách nào khác đơn giản hơn không.
Các em để ý xem: (x-3) + (2x-1) có mối liên hệ gì với (3x-4) không?
Ta có: (x-3) + (2x-1) = x – 3 + 2x – 1 = 3x – 4.
Vậy, nếu ta đặt a = x-3 và b = 2x-1, thì vế trái của phương trình là a^3 + b^3.
Và vế phải là (3x-4)^3 = (a+b)^3.
Phương trình của chúng ta trở thành: a^3 + b^3 = (a+b)^3.
Bây giờ, chúng ta sẽ khai triển vế phải theo hằng đẳng thức lập phương của một tổng:
(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.
Vậy, phương trình trở thành:
a^3 + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.
Bây giờ, chúng ta sẽ tiến hành rút gọn hai vế. Trừ cả hai vế cho a^3 và b^3, ta được:
0 = 3a^2b + 3ab^2.
Tiếp theo, chúng ta sẽ nhóm nhân tử chung ra. Các em thấy nhân tử chung ở đây là gì?
Đó chính là 3ab.
Ta có: 3a^2b + 3ab^2 = 3ab(a+b).
Vậy, phương trình của chúng ta bây giờ là:
0 = 3ab(a+b).
Tích của ba thừa số bằng 0 khi và chỉ khi ít nhất một trong các thừa số bằng 0. Do đó, ta có ba trường hợp có thể xảy ra:
Trường hợp 1: 3 = 0.
Điều này là vô lý, nên ta loại trường hợp này.
Trường hợp 2: a = 0.
Thay a = x-3 vào, ta có:
x – 3 = 0
x = 3.
Trường hợp 3: b = 0.
Thay b = 2x-1 vào, ta có:
2x – 1 = 0
2x = 1
x = 1/2.
Trường hợp 4: a+b = 0.
Thay a = x-3 và b = 2x-1 vào, ta có:
(x-3) + (2x-1) = 0
3x – 4 = 0
3x = 4
x = 4/3.
Vậy, chúng ta đã tìm được ba giá trị của x có thể thỏa mãn phương trình.
Bây giờ, chúng ta cần kiểm tra lại xem các giá trị này có đúng không. Tuy nhiên, với cách biến đổi này, các bước đều dựa trên các hằng đẳng thức và quy tắc biến đổi đại số đúng, nên cả ba nghiệm này đều là nghiệm của phương trình.
Vậy, tập nghiệm của phương trình là x ∈ {3; 1/2; 4/3}.
Các em thân mến, bài toán này cho chúng ta thấy rằng, đôi khi việc nhận ra mối liên hệ giữa các biểu thức có trong đề bài sẽ giúp chúng ta tìm ra lời giải ngắn gọn và hiệu quả hơn rất nhiều. Hãy luôn quan sát đề bài thật kỹ trước khi bắt tay vào giải nhé!
Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, các em cứ mạnh dạn hỏi thầy. Chúc các em học tốt!
Đáp án+Giải thích các bước giải:
\(( x – 3 )^3 + ( 2x – 1 )^3 = ( 3x – 4 )^3\)
\(<=> ( x – 3 + 2x – 1 )[ ( x – 3 )^2 – ( x – 3 )( 2x – 1 ) + ( 2x – 1 )^2 ] – ( 3x – 4 )^3 = 0\)
\(<=> ( 3x – 4 )[ x^2 – 6x + 9 – ( 2x^2 – 6x – x + 3 ) + 4x^2 – 4x + 1 – ( 3x – 4 )^2 ] = 0\)
\(<=> ( 3x – 4 )( x^2 – 6x + 9 – 2x^2 + 7x – 3 + 4x^2 – 4x + 1 – 9x^2 + 24x – 16 ) = 0\)
\(<=> ( 3x – 4 )( – 6x^2 + 21x – 9 ) = 0\)
\(<=> ( 3x – 4 )[ -3 . ( 2x^2 – 7x + 3 ) ] = 0\)
\(<=> ( 3x – 4 )( 2x^2 – 7x + 3 ) = 0\)
\(<=> ( 3x – 4 )( 2x^2 – 6x – x + 3 ) = 0\)
\(<=> ( 3x – 4 )( x – 3 )( 2x – 1 ) = 0\)
\(<=> 3x – 4 = 0 hoặc x – 3 = 0 hoặc 2x – 1 = 0\)
\(<=> x = 4/3 hoặc x = 3 hoặc x = 1/2\)
\(Vậy pt có S = { 4/3 ; 3 ; 1/2 }\)
\((x-3)³+(2x-1)³=(3x-4)³\)
\(⇒x³-9x²+27x-27+8x³-12x²+6x-1=27x³-108x²+144x-64\)
\(⇒x³-9x²+27x-27+8x³-12x²+6x-1-27x³+108x²-144x+64=0\)
\(⇒-18x³+87x²-111x+36=0\)
\(⇒-3(6x³-29x²+37x-12)=0\)
\(⇒-3(6x³-18x²-11x²+33x+4x-12)=0\)
\(⇒-3[6x²(x-3)-11x(x-3)+4(x-3)]=0\)
\(⇒-3(x-3)(6x²-11x+4)=0\)
\(⇒-3(x-3)(6x²-3x-8x+4)=0\)
\(⇒-3(x-3)[3x(2x-1)-4(2x-1)]=0\)
\(⇒-3(x-3)(2x-1)(3x-4)=0\)
\(⇒\)\(\left[\begin{matrix} x-3=0\\ 2x-1=0\\ 3x-4=0\end{matrix}\right.\)\(⇒\)\(\left[\begin{matrix} x=3\\ x=\frac{1}{2}\\ x=\frac{4}{3}\end{matrix}\right.\)
Vậy \(x∈{3;1/2;4/3}\)