Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán tìm điều kiện để biểu thức chứa căn thức nhận giá trị nguyên. Các em chú ý theo dõi nhé.

Đề bài yêu cầu chúng ta tìm các giá trị của x để biểu thức A = 5\sqrt{x}/\(\sqrt{x}-1\)} nhận giá trị nguyên.

Để biểu thức A có nghĩa, chúng ta cần đảm bảo các điều kiện sau:
1. Biểu thức dưới dấu căn phải không âm: \(x \geq 0\).
2. Mẫu số phải khác 0: \(\sqrt{x}-1 \neq 0\), suy ra \(\sqrt{x} \neq 1\), hay \(x \neq 1\).

Vậy, điều kiện xác định của biểu thức A là \(x \geq 0\) và \(x \neq 1\).

Bây giờ, chúng ta sẽ biến đổi biểu thức A để dễ dàng tìm điều kiện nguyên.
A = 5\sqrt{x}/\(\sqrt{x}-1\)}

Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tách phần nguyên bằng cách “chèn” một số hạng vào tử thức để xuất hiện mẫu thức.
Ta có thể viết 5\sqrt{x} như sau:
5\sqrt{x} = 5(\sqrt{x}-1) + 5

Khi đó, biểu thức A trở thành:
A = [5(\sqrt{x}-1) + 5] / \( \sqrt{x}-1 \)

Bây giờ, chúng ta sẽ tách phân số này thành hai phân số:
A = \( \frac{5(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}-1} \) + \( \frac{5}{\sqrt{x}-1} \)

Với điều kiện \(\sqrt{x}-1 \neq 0\), ta rút gọn phân số thứ nhất:
A = 5 + \( \frac{5}{\sqrt{x}-1} \)

Để A là một số nguyên, thì \(5 + \frac{5}{\sqrt{x}-1}\) phải là một số nguyên.
Vì 5 là số nguyên, nên điều này tương đương với việc \( \frac{5}{\sqrt{x}-1} \) phải là một số nguyên.

Đặt \(k = \frac{5}{\sqrt{x}-1}\), với k là một số nguyên.
Điều này có nghĩa là \(\sqrt{x}-1\) phải là ước của 5.

Các ước của 5 là: 1, -1, 5, -5.

Bây giờ, chúng ta xét từng trường hợp của \(\sqrt{x}-1\):

Trường hợp 1: \(\sqrt{x}-1 = 1\)
\(\sqrt{x} = 1 + 1\)
\(\sqrt{x} = 2\)
Bình phương hai vế, ta được: \(x = 2^2 = 4\).
Kiểm tra điều kiện xác định: \(x=4 \geq 0\) và \(x=4 \neq 1\). Thỏa mãn.
Khi \(x=4\), A = 5 + \( \frac{5}{2-1} \) = 5 + \( \frac{5}{1} \) = 5 + 5 = 10. (Nguyên)

Trường hợp 2: \(\sqrt{x}-1 = -1\)
\(\sqrt{x} = -1 + 1\)
\(\sqrt{x} = 0\)
Bình phương hai vế, ta được: \(x = 0^2 = 0\).
Kiểm tra điều kiện xác định: \(x=0 \geq 0\) và \(x=0 \neq 1\). Thỏa mãn.
Khi \(x=0\), A = 5 + \( \frac{5}{0-1} \) = 5 + \( \frac{5}{-1} \) = 5 – 5 = 0. (Nguyên)

Trường hợp 3: \(\sqrt{x}-1 = 5\)
\(\sqrt{x} = 5 + 1\)
\(\sqrt{x} = 6\)
Bình phương hai vế, ta được: \(x = 6^2 = 36\).
Kiểm tra điều kiện xác định: \(x=36 \geq 0\) và \(x=36 \neq 1\). Thỏa mãn.
Khi \(x=36\), A = 5 + \( \frac{5}{6-1} \) = 5 + \( \frac{5}{5} \) = 5 + 1 = 6. (Nguyên)

Trường hợp 4: \(\sqrt{x}-1 = -5\)
\(\sqrt{x} = -5 + 1\)
\(\sqrt{x} = -4\)
Ta thấy \(\sqrt{x}\) luôn phải có giá trị không âm. Do đó, trường hợp này vô nghiệm.

Như vậy, các giá trị của x làm cho biểu thức A là số nguyên là 0, 4 và 36.

Kết luận: Để A = 5\sqrt{x}/\(\sqrt{x}-1\)} là số nguyên, thì \(x\) phải thuộc tập hợp {0, 4, 36}.

Các em về nhà làm thêm các bài tương tự để củng cố kiến thức nhé.