Chào các em học sinh lớp 8! Cô rất vui được đồng hành cùng các em trong tiết học hôm nay. Chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một dạng bài tập thú vị liên quan đến biểu thức chứa biến để tìm giá trị nguyên của biến. Bài tập hôm nay yêu cầu chúng ta tìm giá trị nguyên của \(x\) sao cho các biểu thức \(A, B, C\) nhận giá trị nguyên.

Cô sẽ hướng dẫn các em giải từng phần một nhé.

Phần 1: Tìm \(x\) nguyên để \(A = \frac{2x-4}{x-3}\) là số nguyên.

Bước 1: Biến đổi biểu thức \(A\) về dạng \( \frac{hằng số}{x-3} + một số nguyên \).
Đây là phương pháp quen thuộc khi gặp một phân thức mà bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu. Chúng ta sẽ sử dụng phép chia đa thức hoặc phương pháp thêm bớt để tách phần nguyên.
Ta có thể viết lại tử số \(2x-4\) như sau:
\(2x-4 = 2(x-3) + 6 – 4\)
\(2x-4 = 2(x-3) + 2\)

Vậy, biểu thức \(A\) trở thành:
\(A = \frac{2(x-3) + 2}{x-3}\)
\(A = \frac{2(x-3)}{x-3} + \frac{2}{x-3}\)
\(A = 2 + \frac{2}{x-3}\)

Bước 2: Tìm điều kiện để \(A\) là số nguyên.
Để \(A\) là một số nguyên, thì \(2 + \frac{2}{x-3}\) phải là một số nguyên.
Vì \(2\) là một số nguyên rồi, nên điều kiện để \(A\) là số nguyên chính là \(\frac{2}{x-3}\) phải là một số nguyên.

Bước 3: Tìm các giá trị nguyên của \(x-3\).
Để \(\frac{2}{x-3}\) là một số nguyên, thì \(x-3\) phải là ước của \(2\).
Các ước nguyên của \(2\) là: \(-2, -1, 1, 2\).

Bước 4: Tìm các giá trị nguyên của \(x\).
Ta lần lượt cho \(x-3\) bằng các ước của \(2\):

• Nếu \(x-3 = -2\) thì \(x = -2 + 3 = 1\).
• Nếu \(x-3 = -1\) thì \(x = -1 + 3 = 2\).
• Nếu \(x-3 = 1\) thì \(x = 1 + 3 = 4\).
• Nếu \(x-3 = 2\) thì \(x = 2 + 3 = 5\).

Vậy, các giá trị nguyên của \(x\) để \(A\) là số nguyên là \(x \in \{1, 2, 4, 5\}\).

Phần 2: Tìm \(x\) nguyên để \(B = \frac{x-4}{x-3}\) là số nguyên.

Bước 1: Biến đổi biểu thức \(B\) về dạng \( \frac{hằng số}{x-3} + một số nguyên \).
Tương tự như phần A, ta biến đổi tử số \(x-4\) để xuất hiện thừa số \(x-3\).
\(x-4 = (x-3) – 1\)

Vậy, biểu thức \(B\) trở thành:
\(B = \frac{(x-3) – 1}{x-3}\)
\(B = \frac{x-3}{x-3} – \frac{1}{x-3}\)
\(B = 1 – \frac{1}{x-3}\)

Bước 2: Tìm điều kiện để \(B\) là số nguyên.
Để \(B\) là một số nguyên, thì \(1 – \frac{1}{x-3}\) phải là một số nguyên.
Vì \(1\) là một số nguyên, nên điều kiện để \(B\) là số nguyên là \(\frac{1}{x-3}\) phải là một số nguyên.

Bước 3: Tìm các giá trị nguyên của \(x-3\).
Để \(\frac{1}{x-3}\) là một số nguyên, thì \(x-3\) phải là ước của \(1\).
Các ước nguyên của \(1\) là: \(-1, 1\).

Bước 4: Tìm các giá trị nguyên của \(x\).
Ta lần lượt cho \(x-3\) bằng các ước của \(1\):

• Nếu \(x-3 = -1\) thì \(x = -1 + 3 = 2\).
• Nếu \(x-3 = 1\) thì \(x = 1 + 3 = 4\).

Vậy, các giá trị nguyên của \(x\) để \(B\) là số nguyên là \(x \in \{2, 4\}\).

Phần 3: Tìm \(x\) nguyên để \(C = \frac{4x}{2x+3}\) là số nguyên.

Bước 1: Biến đổi biểu thức \(C\) về dạng \( \frac{hằng số}{2x+3} + một số nguyên \).
Ở đây, bậc của tử bằng bậc của mẫu, nên chúng ta cũng sử dụng phương pháp tương tự. Ta cần làm xuất hiện thừa số \(2x+3\) ở tử.
Ta nhân tử và mẫu với \(2\) để dễ dàng biến đổi:
\(C = \frac{2 \times 4x}{2 \times (2x+3)} = \frac{8x}{2(2x+3)}\)
Bây giờ, ta biến đổi \(8x\):
\(8x = 4(2x+3) – 12\)

Vậy, biểu thức \(C\) trở thành:
\(C = \frac{4(2x+3) – 12}{2(2x+3)}\)
\(C = \frac{4(2x+3)}{2(2x+3)} – \frac{12}{2(2x+3)}\)
\(C = 2 – \frac{6}{2x+3}\)

Bước 2: Tìm điều kiện để \(C\) là số nguyên.
Để \(C\) là một số nguyên, thì \(2 – \frac{6}{2x+3}\) phải là một số nguyên.
Vì \(2\) là một số nguyên, nên điều kiện để \(C\) là số nguyên là \(\frac{6}{2x+3}\) phải là một số nguyên.

Bước 3: Tìm các giá trị nguyên của \(2x+3\).
Để \(\frac{6}{2x+3}\) là một số nguyên, thì \(2x+3\) phải là ước của \(6\).
Các ước nguyên của \(6\) là: \(-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6\).

Bước 4: Tìm các giá trị nguyên của \(x\).
Ta lần lượt cho \(2x+3\) bằng các ước của \(6\) và giải tìm \(x\). Lưu ý rằng \(x\) phải là số nguyên.

• Nếu \(2x+3 = -6\) thì \(2x = -9\), \(x = -\frac{9}{2}\) (không nguyên, loại).
• Nếu \(2x+3 = -3\) thì \(2x = -6\), \(x = -3\) (nguyên, nhận).
• Nếu \(2x+3 = -2\) thì \(2x = -5\), \(x = -\frac{5}{2}\) (không nguyên, loại).
• Nếu \(2x+3 = -1\) thì \(2x = -4\), \(x = -2\) (nguyên, nhận).
• Nếu \(2x+3 = 1\) thì \(2x = -2\), \(x = -1\) (nguyên, nhận).
• Nếu \(2x+3 = 2\) thì \(2x = -1\), \(x = -\frac{1}{2}\) (không nguyên, loại).
• Nếu \(2x+3 = 3\) thì \(2x = 0\), \(x = 0\) (nguyên, nhận).
• Nếu \(2x+3 = 6\) thì \(2x = 3\), \(x = \frac{3}{2}\) (không nguyên, loại).

Vậy, các giá trị nguyên của \(x\) để \(C\) là số nguyên là \(x \in \{-3, -2, -1, 0\}\).

Các em thân mến, qua bài tập này, chúng ta đã ôn lại cách biến đổi biểu thức hữu tỉ để đưa về dạng phân thức có tử là hằng số, từ đó tìm điều kiện để biểu thức nhận giá trị nguyên. Đây là một kỹ năng rất quan trọng, giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán nâng cao hơn. Các em hãy xem lại bài và luyện tập thêm các bài tập tương tự nhé. Cô chúc các em học tốt!