tìm x: | x – 1|= 2x – 5

Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy/cô sẽ hướng dẫn các em giải bài toán tìm $x$ trong phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Đây là một dạng bài rất quan trọng và thường gặp trong chương trình Toán lớp 7 của chúng ta. Các em hãy chú ý theo dõi nhé!

Đề bài: Tìm $x$ biết $\left|x–1\right|=2x–5$

Lời giải chi tiết:

Để giải phương trình $\left|x–1\right|=2x–5$, chúng ta sẽ áp dụng định nghĩa của giá trị tuyệt đối và một điều kiện quan trọng đi kèm.

Giải thích phương pháp:

Chúng ta biết rằng giá trị tuyệt đối của một số luôn là một số không âm (luôn lớn hơn hoặc bằng 0). Do đó, vế phải của phương trình ($2x–5$) cũng phải không âm. Đây là điều kiện đầu tiên để phương trình có nghiệm. Sau đó, chúng ta sẽ dựa vào định nghĩa giá trị tuyệt đối để chia thành các trường hợp, giải từng trường hợp và kiểm tra lại điều kiện ban đầu.

Các bước thực hiện:

Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghiệm.

Vì giá trị tuyệt đối của một biểu thức luôn không âm, tức là $\left|x–1\right|\ge 0$, nên vế phải của phương trình cũng phải không âm.
Do đó, ta phải có:

$$2x–5\ge 0$$

Chuyển số hạng tự do $–5$ sang vế phải và đổi dấu:

$$2x\ge 5$$

Chia cả hai vế cho $2$ (là số dương, nên không đổi chiều bất đẳng thức):

$$x\ge \frac{5}{2}$$

Hay $x\ge 2.5$.

Đây là điều kiện quan trọng. Bất kỳ giá trị $x$ nào tìm được sau này mà không thỏa mãn điều kiện $x\ge 2.5$ đều sẽ bị loại bỏ.

Bước 2: Giải phương trình bằng cách xét các trường hợp của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối.

Chúng ta nhớ định nghĩa: $\left|A\right|=A$ nếu $A\ge 0$ và $\left|A\right|=–A$ nếu $A<0$.

Áp dụng vào $\left|x–1\right|$, ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: Khi $x–1\ge 0$

Điều này tương đương với $x\ge 1$.

Khi đó, $\left|x–1\right|=x–1$.

Phương trình đã cho trở thành:

$$x–1=2x–5$$

Chuyển các số hạng chứa $x$ về một vế, các số hạng tự do về vế kia:

$$x–2x=–5+1$$

Thực hiện phép tính:

$$–x=–4$$

Nhân cả hai vế với $–1$ để tìm $x$:

$$x=4$$

Kiểm tra điều kiện:

• Điều kiện của Trường hợp 1: $x\ge 1$. Ta thấy $4\ge 1$ là đúng (Thỏa mãn).
• Điều kiện ban đầu (Bước 1): $x\ge 2.5$. Ta thấy $4\ge 2.5$ là đúng (Thỏa mãn).

Vì $x=4$ thỏa mãn tất cả các điều kiện, nên $x=4$ là một nghiệm của phương trình.

Trường hợp 2: Khi $x–1<0$

Điều này tương đương với $x<1$.

Khi đó, $\left|x–1\right|=–\left(x–1\right)=–x+1$.

Phương trình đã cho trở thành:

$$–x+1=2x–5$$

Chuyển các số hạng chứa $x$ về một vế, các số hạng tự do về vế kia:

$$–x–2x=–5–1$$

Thực hiện phép tính:

$$–3x=–6$$

Chia cả hai vế cho $–3$ để tìm $x$:

$$x=\frac{–6}{–3}$$

$$x=2$$

Kiểm tra điều kiện:

• Điều kiện của Trường hợp 2: $x<1$. Ta thấy $2<1$ là mệnh đề SAI.
• Điều kiện ban đầu (Bước 1): $x\ge 2.5$. Ta thấy $2\ge 2.5$ là mệnh đề SAI.

Vì $x=2$ không thỏa mãn điều kiện của Trường hợp 2 (và cả điều kiện ban đầu), nên $x=2$ không phải là nghiệm của phương trình.

Bước 3: Kết luận.

Tổng hợp kết quả từ cả hai trường hợp, chúng ta thấy chỉ có một giá trị $x$ thỏa mãn phương trình.

Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là $x=4$.

Thầy/cô mong rằng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ hơn về cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Hãy luôn nhớ đặt điều kiện cho vế phải và kiểm tra lại các nghiệm tìm được nhé!