Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thú vị về lũy thừa. Bài toán yêu cầu chúng ta tìm hai số tự nhiên x và y sao cho \( 2^x – 2^y = 256 \).

Để giải bài toán này, chúng ta cần nhớ lại một số kiến thức về lũy thừa đã học.

Bước 1: Phân tích bài toán và nhận xét mối quan hệ giữa x và y.

Đề bài cho \( 2^x – 2^y = 256 \). Vì \( 2^x \) và \( 2^y \) đều là các lũy thừa của 2, nên chúng là các số nguyên dương.
Phép trừ \( 2^x – 2^y \) cho kết quả là 256, là một số dương. Điều này có nghĩa là \( 2^x \) phải lớn hơn \( 2^y \).
Với cơ số là 2 (lớn hơn 1), nếu \( 2^x > 2^y \) thì suy ra \( x > y \).
Vì x và y là các số tự nhiên, nên x phải lớn hơn hoặc bằng y cộng 1. Tức là \( x \ge y + 1 \).

Bước 2: Biến đổi biểu thức bằng cách đặt thừa số chung.

Vì \( x > y \), ta có thể đặt thừa số chung \( 2^y \) ra ngoài:
\( 2^x – 2^y = 2^y \cdot 2^{x-y} – 2^y \cdot 1 \)
\( = 2^y (2^{x-y} – 1) \)

Bây giờ, bài toán trở thành: \( 2^y (2^{x-y} – 1) = 256 \).

Bước 3: Phân tích số 256 thành thừa số nguyên tố.

Chúng ta cần viết 256 dưới dạng lũy thừa của 2.
\( 256 = 2 \times 128 \)
\( 128 = 2 \times 64 \)
\( 64 = 2 \times 32 \)
\( 32 = 2 \times 16 \)
\( 16 = 2 \times 8 \)
\( 8 = 2 \times 4 \)
\( 4 = 2 \times 2 \)
Vậy, \( 256 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^8 \).

Bài toán bây giờ là: \( 2^y (2^{x-y} – 1) = 2^8 \).

Bước 4: So sánh và suy luận.

Ta có vế trái là tích của \( 2^y \) (là một lũy thừa của 2) và \( (2^{x-y} – 1) \) (là một số trừ đi 1).
Vế phải là \( 2^8 \).

Vì \( x > y \), nên \( x-y \) là một số tự nhiên dương.
Do đó, \( 2^{x-y} \) là một lũy thừa của 2 và \( 2^{x-y} \ge 2^1 = 2 \).
Suy ra, \( 2^{x-y} – 1 \) là một số tự nhiên lẻ và \( 2^{x-y} – 1 \ge 2 – 1 = 1 \).

Trong biểu thức \( 2^y (2^{x-y} – 1) = 2^8 \), chúng ta có một thừa số là lũy thừa của 2 (là \( 2^y \)) và một thừa số là số lẻ \( (2^{x-y} – 1) \).
Vế phải là \( 2^8 \), là một số chỉ có thừa số nguyên tố là 2. Điều này có nghĩa là, trong tích \( 2^y (2^{x-y} – 1) \), thừa số lẻ duy nhất có thể xuất hiện chính là 1.

Do đó, chúng ta phải có:
\( 2^{x-y} – 1 = 1 \)

Và \( 2^y \) sẽ bằng phần còn lại của \( 2^8 \), tức là \( 2^y = 2^8 \).

Bước 5: Giải tìm y và x.

Từ \( 2^{x-y} – 1 = 1 \):
\( 2^{x-y} = 1 + 1 \)
\( 2^{x-y} = 2 \)
\( 2^{x-y} = 2^1 \)
Suy ra \( x-y = 1 \).

Từ \( 2^y = 2^8 \):
Suy ra \( y = 8 \).

Bây giờ chúng ta đã có \( y = 8 \) và \( x-y = 1 \). Thay \( y = 8 \) vào phương trình thứ hai:
\( x – 8 = 1 \)
\( x = 1 + 8 \)
\( x = 9 \)

Vậy, \( x = 9 \) và \( y = 8 \).

Bước 6: Kiểm tra lại kết quả.

Chúng ta thay \( x = 9 \) và \( y = 8 \) vào biểu thức ban đầu:
\( 2^x – 2^y = 2^9 – 2^8 \)
\( 2^9 = 512 \)
\( 2^8 = 256 \)
\( 2^9 – 2^8 = 512 – 256 = 256 \).
Kết quả này khớp với đề bài.

Ngoài ra, chúng ta cũng cần kiểm tra xem x và y có thuộc tập số tự nhiên \( \mathbb{N} \) hay không.
\( x = 9 \in \mathbb{N} \) và \( y = 8 \in \mathbb{N} \). Điều kiện này cũng được thỏa mãn.

Kết luận:

Vậy, các giá trị của x và y thỏa mãn yêu cầu đề bài là \( x = 9 \) và \( y = 8 \).
Đáp số: \( x = 9 \); \( y = 8 \).