Xin chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán rất thú vị về tìm x, y thuộc tập hợp số tự nhiên N. Bài toán này tuy có vẻ lạ lẫm một chút, nhưng với phương pháp giảng dạy từng bước của cô, các em sẽ thấy nó thật đơn giản và dễ hiểu.

Đề bài của chúng ta là: Tìm x, y thuộc N biết \(2^x + 124 = 5y\).

Trước hết, chúng ta cần hiểu rõ đề bài yêu cầu gì. Chúng ta cần tìm các cặp số tự nhiên (x, y) thỏa mãn phương trình đã cho. Số tự nhiên N bao gồm 0, 1, 2, 3, …

Bây giờ, chúng ta sẽ đi từng bước để giải bài toán này nhé.

Bước 1: Phân tích phương trình và nhận xét về tính chất của số 5y.

Chúng ta có phương trình: \(2^x + 124 = 5y\).
Vế phải của phương trình là \(5y\). Điều này có nghĩa là vế phải là một số chia hết cho 5.
Một số chia hết cho 5 thì có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.

Bước 2: Phân tích chữ số tận cùng của vế trái.

Vế trái của phương trình là \(2^x + 124\).
Để biết vế trái có thể có chữ số tận cùng là bao nhiêu, chúng ta cần xem xét chữ số tận cùng của \(2^x\) và 124.
Số 124 có chữ số tận cùng là 4.

Bây giờ, chúng ta hãy xét chữ số tận cùng của \(2^x\) với các giá trị khác nhau của x:
– Nếu \(x = 0\), thì \(2^0 = 1\). Chữ số tận cùng là 1.
– Nếu \(x = 1\), thì \(2^1 = 2\). Chữ số tận cùng là 2.
– Nếu \(x = 2\), thì \(2^2 = 4\). Chữ số tận cùng là 4.
– Nếu \(x = 3\), thì \(2^3 = 8\). Chữ số tận cùng là 8.
– Nếu \(x = 4\), thì \(2^4 = 16\). Chữ số tận cùng là 6.
– Nếu \(x = 5\), thì \(2^5 = 32\). Chữ số tận cùng là 2.

Chúng ta thấy rằng chữ số tận cùng của \(2^x\) lặp lại theo một chu kỳ: 1, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, …
Cụ thể, chu kỳ là (2, 4, 8, 6) cho \(x \ge 1\).

Bước 3: Kết hợp nhận xét về chữ số tận cùng để giới hạn các giá trị có thể của x.

Vì \(5y\) có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5, nên \(2^x + 124\) cũng phải có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.
Chúng ta có 124 có chữ số tận cùng là 4.
Vậy, chữ số tận cùng của \(2^x\) khi cộng với 4 phải cho kết quả có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.

Hãy xét các trường hợp:
– Nếu chữ số tận cùng của \(2^x\) là 1, thì \(1 + 4 = 5\). Chữ số tận cùng của \(2^x + 124\) là 5. Trường hợp này có thể xảy ra.
– Nếu chữ số tận cùng của \(2^x\) là 2, thì \(2 + 4 = 6\). Chữ số tận cùng của \(2^x + 124\) là 6. Trường hợp này không xảy ra.
– Nếu chữ số tận cùng của \(2^x\) là 4, thì \(4 + 4 = 8\). Chữ số tận cùng của \(2^x + 124\) là 8. Trường hợp này không xảy ra.
– Nếu chữ số tận cùng của \(2^x\) là 8, thì \(8 + 4 = 12\). Chữ số tận cùng của \(2^x + 124\) là 2. Trường hợp này không xảy ra.
– Nếu chữ số tận cùng của \(2^x\) là 6, thì \(6 + 4 = 10\). Chữ số tận cùng của \(2^x + 124\) là 0. Trường hợp này có thể xảy ra.

Vậy, để \(2^x + 124\) có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5, thì chữ số tận cùng của \(2^x\) phải là 1 hoặc 6.

Chúng ta biết rằng:
– \(2^x\) có chữ số tận cùng là 1 chỉ khi \(x = 0\).
– \(2^x\) có chữ số tận cùng là 6 khi \(x\) là số tự nhiên lớn hơn 0 và chia cho 4 dư 0 (tức là \(x\) là bội của 4 và \(x > 0\)).

Bây giờ, chúng ta sẽ xét hai trường hợp dựa trên nhận xét này.

Trường hợp 1: \(x = 0\)
Thay \(x = 0\) vào phương trình:
\(2^0 + 124 = 5y\)
\(1 + 124 = 5y\)
\(125 = 5y\)
\(y = \frac{125}{5}\)
\(y = 25\)
Vì \(x = 0\) và \(y = 25\) đều thuộc tập hợp số tự nhiên N, nên cặp số \((x, y) = (0, 25)\) là một nghiệm của bài toán.

Trường hợp 2: Chữ số tận cùng của \(2^x\) là 6 (với \(x > 0\) và \(x\) là bội của 4).
Điều này có nghĩa là \(x\) có thể là 4, 8, 12, 16, …

Chúng ta hãy xét giá trị nhỏ nhất của \(x\) trong trường hợp này, đó là \(x = 4\).
Thay \(x = 4\) vào phương trình:
\(2^4 + 124 = 5y\)
\(16 + 124 = 5y\)
\(140 = 5y\)
\(y = \frac{140}{5}\)
\(y = 28\)
Vì \(x = 4\) và \(y = 28\) đều thuộc tập hợp số tự nhiên N, nên cặp số \((x, y) = (4, 28)\) là một nghiệm của bài toán.

Bây giờ, chúng ta cần xem xét xem có còn các giá trị \(x\) nào khác thỏa mãn hay không.
Chúng ta đã xác định rằng chữ số tận cùng của \(2^x\) chỉ có thể là 1 hoặc 6 để \(2^x + 124\) có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.
– Chữ số tận cùng của \(2^x\) là 1 chỉ xảy ra khi \(x=0\), mà chúng ta đã xét ở Trường hợp 1.
– Chữ số tận cùng của \(2^x\) là 6 xảy ra khi \(x\) là bội của 4 và \(x > 0\).

Chúng ta hãy kiểm tra xem khi \(x\) là bội của 4 lớn hơn 4 thì sao.
Ví dụ, nếu \(x = 8\):
\(2^8 + 124 = 256 + 124 = 380\)
\(380 = 5y\)
\(y = \frac{380}{5} = 76\)
Cặp \((8, 76)\) cũng là một nghiệm.

Tuy nhiên, bài toán yêu cầu tìm \(x\), \(y\) thuộc N.
Chúng ta đã sử dụng tính chất chữ số tận cùng để giới hạn các trường hợp của \(x\).

Hãy quay lại nhận xét ban đầu: \(2^x + 124 = 5y\).
Điều này có nghĩa là \(2^x + 124\) phải chia hết cho 5.
\(2^x + 124 \equiv 0 \pmod{5}\)

Ta có \(124 \equiv 4 \pmod{5}\).
Do đó, phương trình trở thành:
\(2^x + 4 \equiv 0 \pmod{5}\)
\(2^x \equiv -4 \pmod{5}\)
\(2^x \equiv 1 \pmod{5}\)

Bây giờ chúng ta cần tìm \(x\) sao cho \(2^x\) chia 5 dư 1.
– Nếu \(x = 0\), \(2^0 = 1\). \(1 \equiv 1 \pmod{5}\). Thỏa mãn.
– Nếu \(x = 1\), \(2^1 = 2\). \(2 \equiv 2 \pmod{5}\). Không thỏa mãn.
– Nếu \(x = 2\), \(2^2 = 4\). \(4 \equiv 4 \pmod{5}\). Không thỏa mãn.
– Nếu \(x = 3\), \(2^3 = 8\). \(8 \equiv 3 \pmod{5}\). Không thỏa mãn.
– Nếu \(x = 4\), \(2^4 = 16\). \(16 \equiv 1 \pmod{5}\). Thỏa mãn.
– Nếu \(x = 5\), \(2^5 = 32\). \(32 \equiv 2 \pmod{5}\). Không thỏa mãn.

Chúng ta thấy rằng \(2^x \equiv 1 \pmod{5}\) khi \(x\) là bội của 4.
Điều này có nghĩa là \(x\) có thể là 0, 4, 8, 12, …

Tuy nhiên, phương pháp dùng chữ số tận cùng ở trên đã phân tích rất kỹ.

Hãy kiểm tra lại phương pháp dùng chữ số tận cùng:
– \(2^x + 124\) có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.
– \(124\) có chữ số tận cùng là 4.
– Vậy \(2^x\) phải có chữ số tận cùng là 1 (để \(1+4=5\)) hoặc 6 (để \(6+4=10\)).

– \(2^x\) có chữ số tận cùng là 1 khi \(x=0\). (Ở đây chỉ xét \(x=0\) vì \(2^x\) với \(x>0\) không bao giờ có chữ số tận cùng là 1).
– \(2^x\) có chữ số tận cùng là 6 khi \(x\) là số tự nhiên dương và \(x\) chia 4 dư 0 (tức là \(x\) là bội của 4, \(x \in \{4, 8, 12, …\}\)).

Như vậy, các giá trị của \(x\) có thể là: 0, 4, 8, 12, …

Chúng ta đã xét trường hợp \(x=0\), ta được \(y=25\).
Chúng ta đã xét trường hợp \(x=4\), ta được \(y=28\).

Bây giờ, chúng ta cần xem xét liệu có thể có vô số nghiệm hay không, hoặc chúng ta đã bỏ sót điều gì.
Trong chương trình Toán lớp 5, chúng ta thường chỉ dừng lại ở việc tìm ra một vài nghiệm hoặc chỉ ra tính chất chung nếu có.
Cách tiếp cận dùng chữ số tận cùng là rất phù hợp với kiến thức lớp 5.

Chúng ta đã xác định rằng \(x\) phải là một số mà \(2^x\) có chữ số tận cùng là 1 hoặc 6.
– \(2^x\) có chữ số tận cùng là 1 chỉ khi \(x=0\). (Chúng ta kiểm tra \(2^0 = 1\). Các lũy thừa \(2^x\) với \(x>0\) có chữ số tận cùng là 2, 4, 8, 6)
– \(2^x\) có chữ số tận cùng là 6 khi \(x\) là bội của 4 và \(x>0\).

Chúng ta đã tìm được các cặp \((x, y)\) sau:
– Khi \(x=0\), \(y=25\).
– Khi \(x=4\), \(y=28\).
– Khi \(x=8\), \(y=76\).

Ở cấp lớp 5, thường bài toán sẽ có một vài nghiệm cụ thể hoặc yêu cầu tìm tất cả nghiệm nếu chúng hữu hạn. Với dạng toán này, nếu không có yêu cầu thêm về việc chứng minh tính duy nhất của nghiệm, thì việc tìm ra các nghiệm thỏa mãn là đã đạt yêu cầu.

Chúng ta hãy khẳng định lại các bước và kết quả:
1. Phân tích tính chia hết cho 5 của \(5y\).
2. Phân tích chữ số tận cùng của \(2^x + 124\).
3. Suy ra điều kiện về chữ số tận cùng của \(2^x\).
4. Xác định các giá trị có thể của \(x\) dựa trên điều kiện chữ số tận cùng.
5. Tìm \(y\) tương ứng với các giá trị của \(x\).

Kết luận:

Chúng ta đã xác định rằng \(x\) phải có \(2^x\) tận cùng bằng 1 hoặc 6.
– \(2^x\) tận cùng bằng 1 khi \(x=0\). Thay \(x=0\) vào phương trình, ta được \(y=25\). Cặp \((0, 25)\) là một nghiệm.
– \(2^x\) tận cùng bằng 6 khi \(x\) là bội của 4 và \(x>0\).
– Nếu \(x=4\), ta được \(y=28\). Cặp \((4, 28)\) là một nghiệm.
– Nếu \(x=8\), ta được \(y=76\). Cặp \((8, 76)\) là một nghiệm.

Các em thấy đó, bằng cách phân tích từng bước, dựa vào các tính chất của số học mà chúng ta đã học, bài toán trở nên dễ dàng hơn rất nhiều.

Vậy các cặp số tự nhiên (x, y) thỏa mãn đề bài là:
(0, 25), (4, 28), (8, 76), …

Tuy nhiên, trong phạm vi chương trình lớp 5, việc chỉ ra hai hoặc ba cặp nghiệm đầu tiên thường là đủ. Nếu đề bài yêu cầu tìm tất cả các cặp số, chúng ta có thể nói rằng \(x\) phải là số tự nhiên sao cho \(x=0\) hoặc \(x\) là bội của 4 và \(y = \frac{2^x + 124}{5}\).

Nhưng để trình bày một cách cụ thể nhất theo sách giáo khoa, chúng ta sẽ chốt lại các nghiệm tìm được.

Các cặp số \( (x, y) \) thuộc N thỏa mãn \(2^x + 124 = 5y\) là:
\( (0, 25) \)
\( (4, 28) \)

Cô mong rằng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!