Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, cô sẽ hướng dẫn các em giải một bài toán tìm x, y nguyên rất thú vị, thuộc dạng phương trình mũ. Dạng bài này yêu cầu chúng ta vận dụng linh hoạt các kiến thức về lũy thừa và tính chất của số nguyên, đặc biệt là phương pháp xét tính chẵn lẻ và chữ số tận cùng. Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

BÀI GIẢI CHI TIẾT

Phương trình của chúng ta là: \(2^x + 124 = 5^y\) với x, y là các số nguyên.

Bước 1: Phân tích và nhận xét về điều kiện của x và y

Đầu tiên, chúng ta cần xem xét x và y có thể là số nguyên âm hay không.

• Nếu x < 0: Giả sử \(x = -n\) (với n là số nguyên dương). Khi đó \(2^x = 2^{-n} = \frac{1}{2^n}\). Đây là một phân số, không phải số nguyên. Vế trái của phương trình sẽ là \(\frac{1}{2^n} + 124\), cũng không phải là một số nguyên. Trong khi đó, nếu y là số nguyên không âm, vế phải \(5^y\) là số nguyên. Nếu y là số nguyên âm, vế phải là phân số. Để một vế không nguyên bằng một vế nguyên là vô lý. Do đó, x không thể là số nguyên âm.
  Vậy, x phải là số tự nhiên (\(x \ge 0\)).
• Nếu y < 0: Giả sử \(y = -m\) (với m là số nguyên dương). Khi đó \(5^y = 5^{-m} = \frac{1}{5^m}\). Vế phải là một phân số nhỏ hơn 1. Vế trái, vì \(x \ge 0\), ta có \(2^x \ge 2^0 = 1\), nên \(2^x + 124 \ge 1 + 124 = 125\). Một số lớn hơn hoặc bằng 125 không thể bằng một phân số nhỏ hơn 1. Điều này vô lý.
  Vậy, y phải là số tự nhiên (\(y \ge 0\)).

Từ hai lập luận trên, chúng ta kết luận rằng bài toán chỉ cần tìm các số tự nhiên x và y.

Bước 2: Xét các trường hợp của y để tìm x

Bây giờ, chúng ta sẽ thử với một vài giá trị tự nhiên đầu tiên của y.

• Trường hợp 1: Nếu y = 0
  Phương trình trở thành: \(2^x + 124 = 5^0\)
  \(2^x + 124 = 1\)
  \(2^x = 1 – 124\)
  \(2^x = -123\)
  Vì \(x\) là số tự nhiên nên \(2^x\) luôn luôn lớn hơn 0. Do đó, trường hợp này không có nghiệm.
• Trường hợp 2: Nếu y = 1
  Phương trình trở thành: \(2^x + 124 = 5^1\)
  \(2^x + 124 = 5\)
  \(2^x = 5 – 124\)
  \(2^x = -119\)
  Trường hợp này cũng không có nghiệm vì \(2^x > 0\).
• Trường hợp 3: Nếu y = 2
  Phương trình trở thành: \(2^x + 124 = 5^2\)
  \(2^x + 124 = 25\)
  \(2^x = 25 – 124\)
  \(2^x = -99\)
  Trường hợp này cũng không có nghiệm vì \(2^x > 0\).
• Trường hợp 4: Nếu y = 3
  Phương trình trở thành: \(2^x + 124 = 5^3\)
  \(2^x + 124 = 125\)
  \(2^x = 125 – 124\)
  \(2^x = 1\)
  Chúng ta biết rằng \(2^0 = 1\), vậy ta tìm được \(x = 0\).
  Ta tìm được một cặp nghiệm là (x; y) = (0; 3).

Bước 3: Xét trường hợp y ≥ 4 để chứng tỏ không còn nghiệm nào khác

Đây là bước quan trọng nhất, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp xét chữ số tận cùng. Phương pháp này rất hiệu quả khi gặp các bài toán về lũy thừa.

• Nhận xét về vế phải: Với \(y \ge 1\), số \(5^y\) luôn có chữ số tận cùng là 5. Do ta đang xét \(y \ge 4\), chắc chắn vế phải \(5^y\) có chữ số tận cùng là 5.
• Suy luận cho vế trái: Vì vế phải có chữ số tận cùng là 5 nên vế trái \(2^x + 124\) cũng phải có chữ số tận cùng là 5.
• Số 124 có chữ số tận cùng là 4.
  
  Do đó, để tổng \(2^x + 124\) có chữ số tận cùng là 5, thì số \(2^x\) phải có chữ số tận cùng là 1.
  
  (Vì …1 + …4 = …5)
• Tìm x để \(2^x\) có tận cùng là 1: Ta hãy xem xét chữ số tận cùng của các lũy thừa của 2:
  • \(2^0 = 1\) (tận cùng là 1)
  • \(2^1 = 2\)
  • \(2^2 = 4\)
  • \(2^3 = 8\)
  • \(2^4 = 16\) (tận cùng là 6)
  • \(2^5 = 32\) (tận cùng là 2)

  Lũy thừa của 2 (với số mũ nguyên dương) chỉ có thể có các chữ số tận cùng là 2, 4, 8, 6.
  
  Như vậy, để \(2^x\) có chữ số tận cùng là 1, chỉ có một khả năng duy nhất là \(x = 0\).

• Kiểm tra lại với x = 0:
  Nếu \(x = 0\), ta thay vào phương trình ban đầu:
  
  \(2^0 + 124 = 5^y\)
  \(1 + 124 = 5^y\)
  \(125 = 5^y\)
  \(5^3 = 5^y\)
  Suy ra \(y = 3\).
• Đối chiếu với giả thiết:
  Kết quả \(y=3\) này mâu thuẫn với giả thiết của chúng ta trong bước này là \(y \ge 4\).
  
  Điều này chứng tỏ rằng không tồn tại bất kỳ giá trị x, y nào thỏa mãn phương trình khi \(y \ge 4\).

Bước 4: Kết luận

Tổng hợp tất cả các trường hợp đã xét, chúng ta thấy rằng chỉ có một cặp số nguyên (x; y) duy nhất thỏa mãn phương trình đã cho.

Vậy, cặp số nguyên (x; y) cần tìm là (0; 3).

Đây là một bài toán hay, giúp các em rèn luyện tư duy phân tích và lập luận logic. Các em hãy ghi nhớ phương pháp xét chữ số tận cùng và xét các trường hợp nhé. Chúc các em học tốt