Chào các em, cô là giáo viên Toán lớp 7. Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thú vị về phương trình nghiệm nguyên. Bài toán này có thể xuất hiện trong các bộ sách giáo khoa mới như Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo hay Cánh diều.

Đề bài yêu cầu chúng ta tìm các số nguyên x, y sao cho \(2^x + 124 = 5^y\).

Chúng ta sẽ cùng nhau đi từng bước để giải quyết bài toán này nhé!

Bước 1: Phân tích phương trình và xét các trường hợp của y.

Trước hết, chúng ta cần nhận xét rằng \(5^y\) là một lũy thừa của 5. Với mọi số nguyên y, \(5^y\) luôn có chữ số tận cùng là 5 (nếu y > 0) hoặc có thể là 1 (nếu y = 0).

* Trường hợp 1: y < 0

Nếu y là một số nguyên âm, ví dụ \(y = -k\) với \(k \in \mathbb{Z}^+\). Khi đó, \(5^y = 5^{-k} = \frac{1}{5^k}\).
Phương trình trở thành \(2^x + 124 = \frac{1}{5^k}\).
Vế trái là một số nguyên (vì x là số nguyên, \(2^x\) là số nguyên, 124 là số nguyên).
Vế phải là một phân số không nguyên.
Do đó, trường hợp y < 0 không thể xảy ra. * Trường hợp 2: y = 0

Nếu y = 0, phương trình trở thành:
\(2^x + 124 = 5^0\)
\(2^x + 124 = 1\)
\(2^x = 1 – 124\)
\(2^x = -123\)
Vì \(2^x\) luôn dương với mọi số nguyên x, nên trường hợp y = 0 cũng không xảy ra.

* Trường hợp 3: y > 0

Đây là trường hợp mà chúng ta sẽ tập trung phân tích. Khi y là số nguyên dương, \(5^y\) sẽ có chữ số tận cùng là 5.

Bước 2: Xét chữ số tận cùng của hai vế.

Từ phương trình \(2^x + 124 = 5^y\), và xét khi y > 0.
Vế phải \(5^y\) có chữ số tận cùng là 5.

Bây giờ, chúng ta cần xem xét chữ số tận cùng của vế trái \(2^x + 124\).
Chữ số tận cùng của \(2^x + 124\) sẽ phụ thuộc vào chữ số tận cùng của \(2^x\) và chữ số tận cùng của 124 (là 4).
Để \(2^x + 124\) có chữ số tận cùng là 5, thì \(2^x\) phải có chữ số tận cùng là \(5 – 4 = 1\).

Chúng ta hãy xem xét chữ số tận cùng của \(2^x\) với các giá trị nguyên của x:
* Nếu x < 0, ví dụ \(x = -k\) với \(k \in \mathbb{Z}^+\). \(2^x = 2^{-k} = \frac{1}{2^k}\). Đây là phân số không nguyên. Nếu \(2^x\) không nguyên thì \(2^x + 124\) cũng không nguyên, trong khi \(5^y\) nguyên. Vậy x phải là số nguyên không âm. * Nếu x = 0, \(2^0 = 1\). Chữ số tận cùng là 1. * Nếu x = 1, \(2^1 = 2\). Chữ số tận cùng là 2. * Nếu x = 2, \(2^2 = 4\). Chữ số tận cùng là 4. * Nếu x = 3, \(2^3 = 8\). Chữ số tận cùng là 8. * Nếu x = 4, \(2^4 = 16\). Chữ số tận cùng là 6. * Nếu x = 5, \(2^5 = 32\). Chữ số tận cùng là 2. Ta thấy chu kỳ chữ số tận cùng của \(2^x\) là 2, 4, 8, 6 lặp lại với x > 0.
Để \(2^x\) có chữ số tận cùng là 1, chỉ có thể xảy ra khi x = 0.

Vậy, từ phân tích chữ số tận cùng, chúng ta suy ra \(x = 0\).

Bước 3: Thay giá trị x = 0 vào phương trình và tìm y.

Thay \(x = 0\) vào phương trình ban đầu:
\(2^0 + 124 = 5^y\)
\(1 + 124 = 5^y\)
\(125 = 5^y\)

Bây giờ, chúng ta cần tìm y sao cho \(5^y = 125\).
Ta biết \(5^1 = 5\), \(5^2 = 25\), \(5^3 = 125\).
Do đó, \(y = 3\).

Kiểm tra lại: \(x=0\), \(y=3\). \(2^0 + 124 = 1 + 124 = 125\). \(5^3 = 125\).
Vậy \(2^0 + 124 = 5^3\) là đúng.

Bước 4: Kiểm tra xem còn trường hợp nào khác không (sử dụng modulo).

Chúng ta đã xét trường hợp x = 0 và tìm được một nghiệm. Bây giờ, chúng ta cần đảm bảo không còn nghiệm nào khác, đặc biệt là khi x > 0.

Xét phương trình \(2^x + 124 = 5^y\) với \(x > 0\) và \(y > 0\).

* Xét phương trình theo modulo 4

Chúng ta biết rằng \(124\) chia hết cho 4 (\(124 = 4 \times 31\)).
Do đó, \(124 \equiv 0 \pmod{4}\).

* Nếu \(x \ge 2\), thì \(2^x\) chia hết cho 4, tức là \(2^x \equiv 0 \pmod{4}\).
Khi đó, vế trái: \(2^x + 124 \equiv 0 + 0 \equiv 0 \pmod{4}\).

* Vế phải là \(5^y\). Ta xem xét \(5^y \pmod{4}\).
Ta có \(5 \equiv 1 \pmod{4}\).
Do đó, \(5^y \equiv 1^y \equiv 1 \pmod{4}\) với mọi \(y \ge 0\).

Bây giờ, chúng ta so sánh hai vế theo modulo 4:
Nếu \(x \ge 2\) và \(y > 0\), ta có:
Vế trái \( \equiv 0 \pmod{4}\)
Vế phải \( \equiv 1 \pmod{4}\)
Vì \(0 \not\equiv 1 \pmod{4}\), nên phương trình không thể có nghiệm khi \(x \ge 2\) và \(y > 0\).

* Xét trường hợp x = 1 (khi y > 0)

Chúng ta đã loại trừ x < 0, y < 0, y = 0. Chúng ta đã tìm được nghiệm x = 0, y = 3. Chúng ta đã loại trừ trường hợp x >= 2, y > 0.

Vậy chỉ còn trường hợp duy nhất cần xem xét là x = 1 (với y > 0).
Thay \(x = 1\) vào phương trình:
\(2^1 + 124 = 5^y\)
\(2 + 124 = 5^y\)
\(126 = 5^y\)
Ta thấy không có số nguyên y nào thỏa mãn \(5^y = 126\), vì \(5^2 = 25\) và \(5^3 = 125\), \(5^4 = 625\).

Do đó, trường hợp x = 1 cũng không cho ta nghiệm nguyên.

Kết luận:

Qua các bước phân tích và xét trường hợp, chúng ta chỉ tìm được một cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn phương trình.

Cặp nghiệm duy nhất là x = 0 và y = 3.

Cảm ơn các em đã theo dõi. Hy vọng bài giảng này giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải các bài toán phương trình nghiệm nguyên bằng cách sử dụng tính chất của chữ số tận cùng và phép đồng dư.