Chào các em, đây là một bài toán tìm nghiệm nguyên rất thú vị, thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi. Dạng toán này đòi hỏi chúng ta phải vận dụng khéo léo kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử mà chúng ta đã học. Thầy sẽ hướng dẫn các em giải bài này một cách chi tiết nhé.

Bài giải

Chúng ta cần tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình:
\[6x^2+7xy+2y^2+x+y-2=0\]

Bước 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

Nhìn vào phương trình, các em sẽ thấy các hạng tử bậc hai là \(6x^2\), \(7xy\), và \(2y^2\). Chúng ta hãy thử nhóm và phân tích cụm này trước. Đây là một tam thức bậc hai, ta sẽ tìm cách tách hạng tử \(7xy\).

Ta có: \(6x^2+7xy+2y^2 = 6x^2+4xy+3xy+2y^2\)

Nhóm các hạng tử lại: \(= (6x^2+4xy) + (3xy+2y^2)\)

Đặt nhân tử chung: \(= 2x(3x+2y) + y(3x+2y)\)

Xuất hiện nhân tử chung mới là \((3x+2y)\): \(= (2x+y)(3x+2y)\)

Rất tuyệt! Chúng ta đã phân tích thành công phần chính của đa thức.

Bước 2: Thay vào phương trình và biến đổi

Bây giờ, chúng ta thay kết quả vừa rồi vào phương trình ban đầu:
\[(2x+y)(3x+2y) + x+y-2 = 0\]
Đến đây, chúng ta cần phải làm xuất hiện lại các biểu thức \((2x+y)\) và \((3x+2y)\) từ phần còn lại là \(x+y-2\).

Các em hãy chú ý một chút nhé, ta có thể biểu diễn \(x+y\) qua các nhân tử vừa tìm được không?
Ta nhận thấy: \((3x+2y) – (2x+y) = 3x+2y-2x-y = x+y\)

Thật là một phát hiện quan trọng! Bây giờ chúng ta sẽ thay \(x+y\) bằng \((3x+2y) – (2x+y)\) vào phương trình:
\[(2x+y)(3x+2y) + [(3x+2y) – (2x+y)] – 2 = 0\]

Để cho gọn, thầy sẽ đặt \(A = 2x+y\) và \(B = 3x+2y\). Phương trình trở thành:
\[AB + (B-A) – 2 = 0\]
\[AB + B – A – 2 = 0\]

Bây giờ ta lại nhóm các hạng tử để phân tích tiếp:
\[(AB+B) – (A+2) = 0\]
\[B(A+1) – (A+1) – 1 = 0\]
Rất tiếc, cách nhóm này chưa hợp lý. Chúng ta thử lại cách nhóm khác nhé.
\[(AB-A) + (B-2) = 0\]
\[A(B-1) + (B-1) – 1 = 0\]
Vẫn chưa được. Đừng nản lòng, đây là lúc chúng ta cần tư duy một chút.

Hãy xem lại biểu thức \(AB – A + B – 2 = 0\). Để phân tích thành nhân tử, ta thường mong có dạng \(AB – A + B – 1\).
Ta biến đổi như sau:
\[AB – A + B – 1 – 1 = 0\]
\[(AB – A) + (B – 1) = 1\]
\[A(B-1) + 1(B-1) = 1\]
\[(A+1)(B-1) = 1\]

Bước 3: Đưa về phương trình ước số

Bây giờ ta thay \(A = 2x+y\) và \(B = 3x+2y\) trở lại:
\[((2x+y)+1)((3x+2y)-1) = 1\]
\[(2x+y+1)(3x+2y-1) = 1\]

Vì \(x\) và \(y\) là các số nguyên (\(x, y \in Z\)), nên \((2x+y+1)\) và \((3x+2y-1)\) cũng phải là các số nguyên.
Tích của hai số nguyên bằng 1, khi đó chỉ có hai trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1: Cả hai nhân tử đều bằng 1.
\[ \begin{cases} 2x+y+1 = 1 \\ 3x+2y-1 = 1 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 2x+y = 0 \\ 3x+2y = 2 \end{cases} \]
Từ phương trình đầu tiên, ta suy ra \(y = -2x\). Thay vào phương trình thứ hai:
\(3x + 2(-2x) = 2\)

\(3x – 4x = 2\)

\(-x = 2\)

\(x = -2\)

Với \(x = -2\), ta tìm được \(y = -2(-2) = 4\).
Cặp số \((-2, 4)\) là số nguyên, nên đây là một nghiệm của phương trình.

Trường hợp 2: Cả hai nhân tử đều bằng -1.
\[ \begin{cases} 2x+y+1 = -1 \\ 3x+2y-1 = -1 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 2x+y = -2 \\ 3x+2y = 0 \end{cases} \]
Từ phương trình thứ hai, ta suy ra \(2y = -3x\), hay \(y = -\frac{3}{2}x\). Thay vào phương trình thứ nhất:
\(2x + (-\frac{3}{2}x) = -2\)

\(\frac{4x-3x}{2} = -2\)

\(\frac{1}{2}x = -2\)

\(x = -4\)

Với \(x = -4\), ta tìm được \(y = -\frac{3}{2}(-4) = 6\).
Cặp số \((-4, 6)\) là số nguyên, nên đây cũng là một nghiệm của phương trình.

Bước 4: Kết luận

Sau khi giải cả hai trường hợp, ta tìm được hai cặp số nguyên \((x,y)\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Các em có thể thay các giá trị này vào phương trình ban đầu để kiểm tra lại.

Vậy, các cặp số nguyên \((x,y)\) cần tìm là \((-2, 4)\) và \((-4, 6)\).

Chúc mừng các em đã hoàn thành một bài toán khó. Chìa khóa của bài toán này chính là nhận ra cách phân tích đa thức ban đầu và khéo léo biến đổi để đưa về phương trình ước số. Hãy luyện tập thêm các dạng bài tương tự nhé