Tìm x,y,z thoả mãn :
5x^2 + 5y^2 + z^2 + 8xy+ 4yz +4zx +2x-2y +2 =0
5x^2 + 5y^2 + z^2 + 8xy+ 4yz +4zx +2x-2y +2 =0
Chúng ta cần tìm các giá trị của x, y, z thỏa mãn phương trình:
5x^2 + 5y^2 + z^2 + 8xy + 4yz + 4zx + 2x – 2y + 2 = 0
Để giải bài toán này, thầy trò mình sẽ cố gắng nhóm các hạng tử lại để tạo thành các bình phương của một tổng hoặc một hiệu.
Bước 1: Biến đổi phương trình bằng cách thêm bớt các hạng tử và nhóm lại.
Nhìn vào phương trình, ta thấy có các số hạng bậc hai như x^2, y^2, z^2 và các số hạng chứa tích của hai biến như xy, yz, zx. Đồng thời, có các số hạng bậc nhất của từng biến và một hằng số tự do.
Chúng ta hãy thử nhóm các số hạng liên quan đến z trước, vì z^2 chỉ có một mình.
Ta có: z^2 + 4yz + 4zx = z^2 + 4z(y+x)
Để có thể tạo thành bình phương của một tổng, ta cần có một số hạng tương ứng với bình phương của (y+x).
Ta thấy có 4y^2 và 5x^2, 8xy.
Hãy thử xem xét biểu thức sau: (z + 2y + 2x)^2
Khai triển ra, ta được: z^2 + (2y)^2 + (2x)^2 + 2(z)(2y) + 2(z)(2x) + 2(2y)(2x)
= z^2 + 4y^2 + 4x^2 + 4yz + 4zx + 8xy
Quan sát biểu thức này với phương trình ban đầu:
Phương trình ban đầu: 5x^2 + 5y^2 + z^2 + 8xy + 4yz + 4zx + 2x – 2y + 2 = 0
Biểu thức khai triển: 4x^2 + 4y^2 + z^2 + 8xy + 4yz + 4zx
Ta thấy phần lớn các số hạng đã khớp nhau.
Hiệu của hai biểu thức là:
(5x^2 + 5y^2 + z^2 + 8xy + 4yz + 4zx + 2x – 2y + 2) – (4x^2 + 4y^2 + z^2 + 8xy + 4yz + 4zx)
= x^2 + y^2 + 2x – 2y + 2
Như vậy, ta có thể viết lại phương trình ban đầu như sau:
(z^2 + 4yz + 4zx + 4x^2 + 4y^2) + x^2 + y^2 + 2x – 2y + 2 = 0
Và nhóm lại:
(z + 2y + 2x)^2 + (x^2 + 2x) + (y^2 – 2y) + 2 = 0
Bây giờ, chúng ta cần xử lý các số hạng còn lại: x^2 + 2x, y^2 – 2y, và 2.
Chúng ta có thể hoàn thành bình phương cho các biểu thức này.
Đối với (x^2 + 2x): Để tạo thành bình phương, ta cần thêm (2/2)^2 = 1^2 = 1.
x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2
Đối với (y^2 – 2y): Để tạo thành bình phương, ta cần thêm (-2/2)^2 = (-1)^2 = 1.
y^2 – 2y + 1 = (y – 1)^2
Bây giờ, xem xét lại số hạng tự do +2 trong phương trình của chúng ta. Chúng ta đã sử dụng 1 để hoàn thành bình phương cho x và 1 để hoàn thành bình phương cho y. Vậy 2 = 1 + 1.
Ta có thể viết lại:
x^2 + y^2 + 2x – 2y + 2 = (x^2 + 2x + 1) + (y^2 – 2y + 1)
Vậy, phương trình ban đầu trở thành:
(z + 2y + 2x)^2 + (x + 1)^2 + (y – 1)^2 = 0
Bước 2: Vận dụng tính chất của bình phương.
Chúng ta đều biết rằng, với mọi số thực a, thì a^2 luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 0. Nghĩa là:
a^2 >= 0
Áp dụng tính chất này cho từng số hạng trong phương trình của chúng ta:
(z + 2y + 2x)^2 >= 0
(x + 1)^2 >= 0
(y – 1)^2 >= 0
Tổng của ba số không âm này bằng 0. Điều này chỉ có thể xảy ra khi mỗi số hạng trong đó đều bằng 0.
Do đó, chúng ta có hệ phương trình:
1. (z + 2y + 2x)^2 = 0
2. (x + 1)^2 = 0
3. (y – 1)^2 = 0
Bước 3: Giải hệ phương trình để tìm x, y, z.
Từ phương trình (2), ta có:
x + 1 = 0
Suy ra: x = -1
Từ phương trình (3), ta có:
y – 1 = 0
Suy ra: y = 1
Bây giờ, chúng ta thay giá trị của x và y vừa tìm được vào phương trình (1):
z + 2y + 2x = 0
z + 2(1) + 2(-1) = 0
z + 2 – 2 = 0
z + 0 = 0
Suy ra: z = 0
Kết luận:
Vậy, các giá trị của x, y, z thỏa mãn phương trình đã cho là x = -1, y = 1, và z = 0.
Chúng ta có thể thử lại bằng cách thay các giá trị này vào phương trình ban đầu để kiểm tra:
5(-1)^2 + 5(1)^2 + (0)^2 + 8(-1)(1) + 4(1)(0) + 4(0)(-1) + 2(-1) – 2(1) + 2
= 5(1) + 5(1) + 0 + 8(-1) + 0 + 0 + (-2) – 2 + 2
= 5 + 5 – 8 – 2 – 2 + 2
= 10 – 8 – 2
= 2 – 2
= 0
Phương trình được thỏa mãn.
Bài học hôm nay đã cho chúng ta thấy sức mạnh của việc nhận diện và sử dụng các hằng đẳng thức, đặc biệt là kỹ năng hoàn thành bình phương. Các em hãy ôn tập lại bài này và luyện tập thêm các dạng toán tương tự nhé.
Giải thích các bước giải:
\(5x^2 + 5y^2 + z^2 + 8xy + 4yz + 4xz + 2x – 2y + 2 = 0\)
\(<=> (4x^2 + 8xy + 4y^2) + 2z(2x + 2y) + z^2 + (z^2 + 2x + 1) + (y^2 – 2x + 1) = 0\)
\(<=> (2x + 2y)^2 + 2z(2x + 2y) + z^2 + (x + 1)^2 + (y – 1)^2 = 0\)
\(<=> (2x + 2y + z)^2 + (x + 1)^2 + (y – 1)^2 = 0\)
Do \((2x + 2y + z)^2 >= 0\) với mọi \(x,y,z \in RR\)
\((x + 1)^2 >= 0\) với mọi \(x \in RR\)
\((y – 1)^2 >= 0\) với mọi \(y \in RR\)
\(=> (2x + 2y + z)^2 + (x + 1)^2 + (y – 1)^2 >= 0\) với mọi \(x,y,z \in RR\)
Dấu “=” xảy ra khi: \({(2x + 2y + z = 0),(x + 1 = 0),(y – 1 = 0):}\)
\(<=> {(2(x + y) = -z),(x = -1),(y = 1):}\)
\(<=> {(x = -1),(y = 1),(z = 0):}\)
Vậy …
Đáp án + Giải thích các bước giải:
\(5x^2+5y^2+z^2+8xy+4yz+4zx+2x-2y+2=0\)
\(<=>4(x^2+y^2+2xy)+4z(x+y)+z^2+(x^2+2x+1)+(y^2-2y+1)=0\)
\(<=>(2x+2y+z)^2+(x+1)^2+(y-1)^2=0(1)\)
Với mọi \(x,y,z\) có: \((2x+2y+z)^2+(x+1)^2+(y-1)^2>=0(2)\)
Từ \((1),(2)\), dấu \(‘=’\) xảy ra \(<=>{(2x+2y+z=0),(x+1=0),(y-1=0):}<=>{(x=-1),(y=1),(z=0):}\)
Vậy \((x,y,z)=(-1;1;0)\)