Xin chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán rất thú vị liên quan đến phép nhân các phân số. Cô tin rằng sau bài học này, các em sẽ thấy việc tính toán các tích phân số trở nên đơn giản hơn rất nhiều.

Chúng ta sẽ cùng nhau thực hiện phép tính: (1-1/2) (1-1/3)…(1-1/2025).

Bây giờ, chúng ta sẽ đi vào từng bước giải chi tiết nhé:

Bước 1: Rút gọn từng thừa số trong biểu thức.
Chúng ta thấy rằng mỗi thừa số trong ngoặc đều có dạng (1 – 1/n). Để rút gọn, chúng ta sẽ quy đồng mẫu số.
Ví dụ:
Thừa số đầu tiên là (1 – 1/2).
Ta có: 1 = 2/2.
Vậy: (1 – 1/2) = (2/2 – 1/2) = (2-1)/2 = 1/2.

Tương tự, với thừa số thứ hai là (1 – 1/3):
Ta có: 1 = 3/3.
Vậy: (1 – 1/3) = (3/3 – 1/3) = (3-1)/3 = 2/3.

Và cứ như vậy, với thừa số tổng quát (1 – 1/n):
Ta có: 1 = n/n.
Vậy: (1 – 1/n) = (n/n – 1/n) = (n-1)/n.

Lý do chúng ta thực hiện bước này là để đưa các biểu thức trong ngoặc về dạng phân số đơn giản hơn, giúp chúng ta dễ dàng nhận ra quy luật của bài toán.

Bước 2: Viết lại biểu thức ban đầu dưới dạng các phân số đã rút gọn.
Dựa vào kết quả ở Bước 1, chúng ta có thể viết lại biểu thức như sau:
(1-1/2) = 1/2
(1-1/3) = 2/3
(1-1/4) = 3/4
…
(1-1/2025) = (2025-1)/2025 = 2024/2025

Vậy, biểu thức ban đầu trở thành:
1/2 2/3 3/4 … 2024/2025

Lý do chúng ta viết lại như vậy là để tập hợp tất cả các phân số đã được rút gọn lại với nhau, tạo tiền đề cho bước tiếp theo.

Bước 3: Thực hiện phép nhân các phân số và rút gọn theo quy luật “triệt tiêu”.
Bây giờ, chúng ta sẽ nhân các phân số lại với nhau:

\[ \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \dots \times \frac{2024}{2025} \]

Các em có thể thấy một quy luật rất đặc biệt ở đây. Tử số của phân số này sẽ là mẫu số của phân số đứng ngay trước nó. Ví dụ:
– Số 2 ở tử số của phân số 2/3 sẽ triệt tiêu với số 2 ở mẫu số của phân số 1/2.
– Số 3 ở tử số của phân số 3/4 sẽ triệt tiêu với số 3 ở mẫu số của phân số 2/3.
– Cứ tiếp tục như vậy, số 2024 ở tử số của phân số 2024/2025 sẽ triệt tiêu với số 2024 ở mẫu số của phân số đứng trước nó.

Đây chính là quy luật “triệt tiêu” hay còn gọi là “tích dạng n-giai thừa” (factorial-like product).

Sau khi thực hiện việc triệt tiêu này, chúng ta sẽ còn lại:
– Tử số của phân số đầu tiên (là 1).
– Mẫu số của phân số cuối cùng (là 2025).

Do đó, kết quả của phép tính là:

\[ \frac{1}{\cancel{2}} \times \frac{\cancel{2}}{\cancel{3}} \times \frac{\cancel{3}}{\cancel{4}} \times \dots \times \frac{\cancel{2024}}{2025} = \frac{1}{2025} \]

Lý do chúng ta áp dụng quy luật triệt tiêu này là vì nó giúp rút gọn phép tính một cách hiệu quả, tránh việc phải nhân tất cả các số lớn lại với nhau.

Vậy, kết quả cuối cùng của phép tính (1-1/2) (1-1/3)…(1-1/2025) là 1/2025.

Các em thấy đó, với cách phân tích từng bước và nhận ra quy luật, bài toán tưởng chừng phức tạp đã trở nên thật đơn giản phải không nào? Cô hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Hẹn gặp lại các em trong những bài học tiếp theo!