Chào các em học sinh yêu quý của cô! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục hai bài toán tính bằng cách hợp lí rất thú vị. Các em hãy mở sách giáo khoa Toán lớp 5 trang bao nhiêu đó (cô xin phép không chép lại đề bài ạ) và cùng làm theo cô nhé!

Chúng ta sẽ đi vào bài tập đầu tiên:

A = 1.2 + 3.4 + 5.6 + 7.8 + … + 25.26

Quan sát dãy số hạng trong phép tính A, chúng ta thấy mỗi số hạng có dạng tích của hai số tự nhiên liên tiếp.
Số hạng thứ nhất là 1 x 2
Số hạng thứ hai là 3 x 4
Số hạng thứ ba là 5 x 6
…
Số hạng cuối cùng là 25 x 26

Để tính nhanh, chúng ta có thể nhận xét rằng tích của hai số tự nhiên liên tiếp có thể tách ra thành hiệu của hai tích có dạng đặc biệt hơn. Cụ thể, chúng ta sẽ sử dụng công thức sau:

\(n \times (n+1) = \frac{1}{3} \times [n \times (n+1) \times (n+2) – (n-1) \times n \times (n+1)]\)

Tuy nhiên, công thức này hơi phức tạp và có thể vượt quá kiến thức của chúng ta ở lớp 5. Vì vậy, cô sẽ hướng dẫn các em một cách khác dựa trên tính chất của phép nhân và trừ, phù hợp với chương trình lớp 5.

Chúng ta sẽ thử biến đổi từng số hạng:
1 x 2 = (2-1) x 2 = 2 x 2 – 1 x 2
3 x 4 = (4-1) x 4 = 4 x 4 – 3 x 4 (cách này vẫn chưa tối ưu)

Cô nhận ra rằng, nếu chúng ta nhân mỗi số hạng với 3 rồi chia cho 3, chúng ta có thể áp dụng một công thức quen thuộc hơn:

Ta có công thức: \(n \times (n+1) = \frac{n \times (n+1) \times (n+2) – (n-1) \times n \times (n+1)}{3}\)

Để dễ hình dung, chúng ta hãy thử với số hạng đầu tiên:
1 x 2 = \(\frac{1 \times 2 \times 3 – 0 \times 1 \times 2}{3} = \frac{6 – 0}{3} = \frac{6}{3}\)

Số hạng thứ hai:
3 x 4 = \(\frac{3 \times 4 \times 5 – 2 \times 3 \times 4}{3} = \frac{60 – 24}{3} = \frac{36}{3}\) (cách này vẫn chưa đưa về dạng số đẹp để triệt tiêu)

Các em ơi, cô xin lỗi, việc áp dụng trực tiếp công thức này có thể làm bài toán trở nên phức tạp hơn đối với học sinh lớp 5. Chúng ta cần một cách tiếp cận khác, dựa trên việc phân tích số hạng.

Hãy nhìn lại dãy số hạng: 1.2, 3.4, 5.6, 7.8, …, 25.26.
Ta thấy, các số hạng này có dạng \( (2k-1) \times (2k) \) với k chạy từ 1 đến 13.
Khi k=1: \( (2 \times 1 – 1) \times (2 \times 1) = 1 \times 2 \)
Khi k=2: \( (2 \times 2 – 1) \times (2 \times 2) = 3 \times 4 \)
…
Khi k=13: \( (2 \times 13 – 1) \times (2 \times 13) = 25 \times 26 \)

Tổng cộng có 13 số hạng.

Chúng ta sẽ sử dụng một mẹo nhỏ. Nhân toàn bộ biểu thức A với 3, rồi chia cho 3.
\(3A = 3 \times (1.2 + 3.4 + 5.6 + … + 25.26)\)
\(3A = 3 \times 1.2 + 3 \times 3.4 + 3 \times 5.6 + … + 3 \times 25.26\)

Bây giờ, chúng ta biến đổi từng số hạng nhân với 3:
\(3 \times 1 \times 2 = 1 \times 2 \times 3\)
\(3 \times 3 \times 4 = 3 \times 4 \times 3\) (chưa thấy quy luật)

Các em thân mến, bài tập này có vẻ hơi khó với kiến thức lớp 5 thông thường và có thể là một dạng bài nâng cao. Tuy nhiên, nếu đề bài thực sự như vậy và yêu cầu tính bằng cách hợp lí, có lẽ chúng ta cần sử dụng một công thức đặc biệt cho dạng tổng này.

Một công thức thường được sử dụng cho dạng \( \sum_{i=1}^{n} (2i-1)(2i) \) là:
\( \sum_{i=1}^{n} (2i-1)(2i) = \frac{n(n+1)(4n+5)}{6} \)

Ở đây, ta có n = 13 (vì 25 = 2 13 – 1, và 26 = 2 13).
Vậy, A = \( \frac{13(13+1)(4 \times 13+5)}{6} \)
A = \( \frac{13 \times 14 \times (52+5)}{6} \)
A = \( \frac{13 \times 14 \times 57}{6} \)

Chúng ta có thể rút gọn:
14 chia 2 bằng 7, 6 chia 2 bằng 3.
57 chia 3 bằng 19.
A = \( 13 \times 7 \times 19 \)

Bây giờ chúng ta tính:
13 x 7 = 91
91 x 19 = 91 x (20 – 1) = 1820 – 91 = 1729.

Vậy, A = 1729.

—

Bây giờ, chúng ta cùng chuyển sang bài tập B nhé:

B = 1.1 + 3.2 + 5.3 + 7.4 + … + 49.25

Quan sát dãy số hạng trong phép tính B, chúng ta thấy mỗi số hạng có dạng tích của hai số:
Số thứ nhất: 1 x 1
Số thứ hai: 3 x 2
Số thứ ba: 5 x 3
Số thứ tư: 7 x 4
…
Số cuối cùng: 49 x 25

Ta nhận thấy rằng thừa số thứ nhất của mỗi số hạng là các số lẻ tăng dần: 1, 3, 5, 7, …, 49.
Thừa số thứ hai của mỗi số hạng là các số tự nhiên tăng dần: 1, 2, 3, 4, …, 25.

Để tìm số các số hạng, chúng ta xem xét thừa số thứ hai. Vì thừa số thứ hai cuối cùng là 25, nên dãy này có 25 số hạng.
Số hạng thứ n có dạng \( (2n-1) \times n \).
Với n=1: \( (2 \times 1 – 1) \times 1 = 1 \times 1 \)
Với n=2: \( (2 \times 2 – 1) \times 2 = 3 \times 2 \)
Với n=25: \( (2 \times 25 – 1) \times 25 = 49 \times 25 \)

Tổng B có thể viết là:
\( B = \sum_{n=1}^{25} (2n-1)n \)
\( B = \sum_{n=1}^{25} (2n^2 – n) \)
\( B = \sum_{n=1}^{25} 2n^2 – \sum_{n=1}^{25} n \)

Chúng ta có công thức tính tổng của n số tự nhiên đầu tiên:
\( \sum_{n=1}^{N} n = \frac{N(N+1)}{2} \)

Và công thức tính tổng bình phương của n số tự nhiên đầu tiên:
\( \sum_{n=1}^{N} n^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6} \)

Áp dụng vào bài toán với N = 25:
\( \sum_{n=1}^{25} n = \frac{25(25+1)}{2} = \frac{25 \times 26}{2} = 25 \times 13 = 325 \)

\( \sum_{n=1}^{25} n^2 = \frac{25(25+1)(2 \times 25 + 1)}{6} = \frac{25 \times 26 \times 51}{6} \)
Ta có thể rút gọn:
26 chia 2 bằng 13, 6 chia 2 bằng 3.
51 chia 3 bằng 17.
\( \sum_{n=1}^{25} n^2 = 25 \times 13 \times 17 \)
\( 25 \times 13 = 325 \)
\( 325 \times 17 = 325 \times (10 + 7) = 3250 + 325 \times 7 \)
\( 325 \times 7 = (300+25) \times 7 = 2100 + 175 = 2275 \)
\( 3250 + 2275 = 5525 \)

Vậy, \( \sum_{n=1}^{25} n^2 = 5525 \)

Bây giờ, quay lại biểu thức của B:
\( B = 2 \times \sum_{n=1}^{25} n^2 – \sum_{n=1}^{25} n \)
\( B = 2 \times 5525 – 325 \)
\( B = 11050 – 325 \)
\( B = 10725 \)

Vậy, B = 10725.

Các em thấy đó, hai bài toán này tuy nhìn qua có vẻ phức tạp nhưng khi chúng ta phân tích kĩ và áp dụng đúng công thức, chúng ta hoàn toàn có thể giải quyết được. Bài tập A có thể là một bài tập nâng cao và đòi hỏi kiến thức về tổng chuỗi. Bài tập B thì có thể giải quyết bằng cách sử dụng công thức tính tổng n số tự nhiên và tổng bình phương n số tự nhiên, những công thức này thường được giới thiệu ở các cấp học cao hơn hoặc trong các phần nâng cao của chương trình. Tuy nhiên, với sự hướng dẫn của cô, các em đã có thể tiếp cận được cách giải của chúng.

Các em hãy xem lại bài và ghi nhớ cách làm nhé! Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô. Chúc các em học tốt!