Chào các em học sinh thân mến! Cô rất vui được đồng hành cùng các em trong buổi học ngày hôm nay. Giới hạn của dãy số là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 11, và việc nắm vững các phương pháp tính giới hạn sẽ giúp các em giải quyết nhiều bài toán phức tạp hơn sau này. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết các bài tập về giới hạn của dãy số.

Các bài toán này chủ yếu xoay quanh việc biến đổi tổng hoặc tích của các số hạng thành một dạng đơn giản hơn (thường là dạng phân số của n) trước khi áp dụng các quy tắc tính giới hạn cơ bản khi n tiến ra vô cùng.

Chúng ta hãy cùng đi vào từng bài tập nhé!

***

a) Tính lim ($\frac{1}{1.3}$+$\frac{1}{2.4}$+…+$\frac{1}{n(n+2)}$ )

Lời giải chi tiết:

Để tính giới hạn của tổng này, trước hết ta cần tìm công thức tổng quát cho tổng S_n = $\frac{1}{1.3}$+$\frac{1}{2.4}$+…+$\frac{1}{n(n+2)}$.

Bước 1: Phân tích số hạng tổng quát.

Số hạng tổng quát của tổng là $\frac{1}{k(k+2)}$. Ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích thành tổng các phân số đơn giản (phân tích một phân thức thành hiệu hai phân thức có mẫu đơn giản hơn).

Ta có: $\frac{1}{k(k+2)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+2}$

Để tìm A và B, ta quy đồng mẫu số: $1 = A(k+2) + Bk$.

• Với $k=0$, ta có $1 = A(0+2) + B(0) \Rightarrow 1 = 2A \Rightarrow A = \frac{1}{2}$.
• Với $k=-2$, ta có $1 = A(-2+2) + B(-2) \Rightarrow 1 = -2B \Rightarrow B = -\frac{1}{2}$.

Vậy, số hạng tổng quát có thể viết lại là: $\frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2k} – \frac{1}{2(k+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k} – \frac{1}{k+2} \right)$.

Bước 2: Viết tổng S_n dưới dạng rút gọn (tổng “telescoping”).

Áp dụng công thức trên cho từng số hạng trong tổng S_n:

$S_n = \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{1} – \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{2} – \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{3} – \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{4} – \frac{1}{6}\right) + … + \left(\frac{1}{n-1} – \frac{1}{n+1}\right) + \left(\frac{1}{n} – \frac{1}{n+2}\right) \right]$

Quan sát các số hạng, ta thấy rằng có rất nhiều số hạng đối nhau và sẽ triệt tiêu lẫn nhau. Đây là đặc điểm của “tổng telescoping”.

Các số hạng bị triệt tiêu là: $-\frac{1}{3}$ với $+\frac{1}{3}$, $-\frac{1}{4}$ với $+\frac{1}{4}$, v.v.

Các số hạng còn lại là những số hạng đầu tiên không bị triệt tiêu và những số hạng cuối cùng không bị triệt tiêu.

Trong trường hợp này, các số hạng còn lại là: $\frac{1}{1}$, $\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{n+1}$, $-\frac{1}{n+2}$.

Vậy, $S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{2} – \frac{1}{n+1} – \frac{1}{n+2} \right)$

$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} – \frac{1}{n+1} – \frac{1}{n+2} \right)$

Bước 3: Tính giới hạn của S_n khi n tiến ra vô cùng.

Ta cần tính $\text{lim}_{n \to \infty} S_n = \text{lim}_{n \to \infty} \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} – \frac{1}{n+1} – \frac{1}{n+2} \right)$.

Áp dụng các quy tắc tính giới hạn:

• $\text{lim}_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0$ (vì tử số là hằng số, mẫu số tiến ra vô cùng).
• $\text{lim}_{n \to \infty} \frac{1}{n+2} = 0$ (tương tự).

Vậy, $\text{lim}_{n \to \infty} S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} – 0 – 0 \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$.

Kết luận: Giới hạn của biểu thức đã cho là $\frac{3}{4}$.

***

b) Tính lim (1- $\frac{1}{2^{2}}$)(1- $\frac{1}{3^{2}}$ )…(1- $\frac{1}{n^{2}}$)

Lời giải chi tiết:

Đây là giới hạn của một tích. Ta cần biến đổi từng thừa số và sau đó rút gọn tích P_n = (1- $\frac{1}{2^{2}}$)(1- $\frac{1}{3^{2}}$ )…(1- $\frac{1}{n^{2}}$).

Bước 1: Phân tích số hạng tổng quát trong tích.

Mỗi thừa số có dạng $1 – \frac{1}{k^2}$. Ta sẽ biến đổi nó bằng cách quy đồng mẫu số và sử dụng hằng đẳng thức $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

$1 – \frac{1}{k^2} = \frac{k^2 – 1}{k^2} = \frac{(k-1)(k+1)}{k^2}$.

Bước 2: Viết tích P_n dưới dạng rút gọn (tích “telescoping”).

Áp dụng công thức trên cho từng thừa số trong tích P_n:

$P_n = \left(\frac{(2-1)(2+1)}{2^2}\right) \cdot \left(\frac{(3-1)(3+1)}{3^2}\right) \cdot \left(\frac{(4-1)(4+1)}{4^2}\right) \cdot … \cdot \left(\frac{(n-1)(n+1)}{n^2}\right)$

$P_n = \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2}\right) \cdot \left(\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 3}\right) \cdot \left(\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 4}\right) \cdot … \cdot \left(\frac{(n-1)(n+1)}{n \cdot n}\right)$

Để dễ nhìn thấy sự triệt tiêu, ta có thể sắp xếp lại các thừa số:

$P_n = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}\right) \cdot \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3}\right) \cdot \left(\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{4}\right) \cdot … \cdot \left(\frac{n-1}{n} \cdot \frac{n+1}{n}\right)$

Ta nhóm các thừa số lại thành hai nhóm để thấy rõ hơn sự triệt tiêu:

$P_n = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot … \cdot \frac{n-1}{n}\right) \cdot \left(\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4} \cdot … \cdot \frac{n+1}{n}\right)$

Trong nhóm thứ nhất: $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot … \cdot \frac{n-1}{n}$

Tử số của số hạng sau triệt tiêu mẫu số của số hạng trước. Kết quả còn lại là $\frac{1}{n}$.

Trong nhóm thứ hai: $\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4} \cdot … \cdot \frac{n+1}{n}$

Mẫu số của số hạng sau triệt tiêu tử số của số hạng trước. Kết quả còn lại là $\frac{n+1}{2}$.

Vậy, $P_n = \frac{1}{n} \cdot \frac{n+1}{2} = \frac{n+1}{2n}$.

Bước 3: Tính giới hạn của P_n khi n tiến ra vô cùng.

Ta cần tính $\text{lim}_{n \to \infty} P_n = \text{lim}_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n}$.

Để tính giới hạn của hàm phân thức khi n tiến ra vô cùng, ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của n, ở đây là n.

$\text{lim}_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \text{lim}_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}} = \text{lim}_{n \to \infty} \frac{1+\frac{1}{n}}{2}$.

Áp dụng các quy tắc tính giới hạn:

• $\text{lim}_{n \to \infty} 1 = 1$.
• $\text{lim}_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$.
• $\text{lim}_{n \to \infty} 2 = 2$.

Vậy, $\text{lim}_{n \to \infty} P_n = \frac{1+0}{2} = \frac{1}{2}$.

Kết luận: Giới hạn của biểu thức đã cho là $\frac{1}{2}$.

***

c) Tính lim ( $\frac{1}{1.2}$+$\frac{1}{2.3}$+…+$\frac{1}{n(n+1)}$ )

Lời giải chi tiết:

Tương tự như câu a), đây là giới hạn của một tổng. Ta sẽ tìm công thức tổng quát cho tổng S_n = $\frac{1}{1.2}$+$\frac{1}{2.3}$+…+$\frac{1}{n(n+1)}$.

Bước 1: Phân tích số hạng tổng quát.

Số hạng tổng quát của tổng là $\frac{1}{k(k+1)}$. Đây là một dạng phân tích quen thuộc.

Ta có: $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} – \frac{1}{k+1}$.

Giải thích: Để kiểm tra, ta quy đồng vế phải: $\frac{1}{k} – \frac{1}{k+1} = \frac{(k+1) – k}{k(k+1)} = \frac{1}{k(k+1)}$. Điều này cho thấy công thức phân tích là đúng.

Bước 2: Viết tổng S_n dưới dạng rút gọn (tổng “telescoping”).

Áp dụng công thức trên cho từng số hạng trong tổng S_n:

$S_n = \left(\frac{1}{1} – \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} – \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} – \frac{1}{4}\right) + … + \left(\frac{1}{n} – \frac{1}{n+1}\right)$

Đây là một tổng “telescoping” (tổng rút gọn) vì các số hạng trung gian sẽ triệt tiêu lẫn nhau.

Số hạng $-\frac{1}{2}$ triệt tiêu với $+\frac{1}{2}$.

Số hạng $-\frac{1}{3}$ triệt tiêu với $+\frac{1}{3}$, v.v.

Các số hạng còn lại là số hạng đầu tiên và số hạng cuối cùng:

$S_n = \frac{1}{1} – \frac{1}{n+1} = 1 – \frac{1}{n+1}$.

Bước 3: Tính giới hạn của S_n khi n tiến ra vô cùng.

Ta cần tính $\text{lim}_{n \to \infty} S_n = \text{lim}_{n \to \infty} \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right)$.

Áp dụng các quy tắc tính giới hạn:

• $\text{lim}_{n \to \infty} 1 = 1$.
• $\text{lim}_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0$ (vì tử số là hằng số, mẫu số tiến ra vô cùng).

Vậy, $\text{lim}_{n \to \infty} S_n = 1 – 0 = 1$.

Kết luận: Giới hạn của biểu thức đã cho là $1$.

***

d) Tính lim $\frac{1+2+…+n}{n^2+3n}$

Lời giải chi tiết:

Đây là giới hạn của một phân thức mà tử số là một tổng. Ta cần biến đổi tử số trước.

Bước 1: Rút gọn tử số.

Tử số là tổng của n số tự nhiên đầu tiên: $1+2+…+n$.

Ta biết công thức tổng của n số tự nhiên đầu tiên là $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$.

Vậy, tử số có thể viết lại là $\frac{n(n+1)}{2} = \frac{n^2+n}{2}$.

Bước 2: Viết lại biểu thức giới hạn và rút gọn.

Biểu thức trở thành: $\text{lim}_{n \to \infty} \frac{\frac{n^2+n}{2}}{n^2+3n}$.

Để đơn giản hóa, ta nhân 2 vào mẫu số:

$\text{lim}_{n \to \infty} \frac{n^2+n}{2(n^2+3n)} = \text{lim}_{n \to \infty} \frac{n^2+n}{2n^2+6n}$.

Bước 3: Tính giới hạn của phân thức.

Đây là giới hạn của một phân thức khi n tiến ra vô cùng. Khi bậc của tử số bằng bậc của mẫu số, giới hạn sẽ bằng tỉ số của các hệ số của lũy thừa cao nhất của n.

Bậc cao nhất của n trong tử số là $n^2$ (hệ số là 1).

Bậc cao nhất của n trong mẫu số là $n^2$ (hệ số là 2).

Ta chia cả tử số và mẫu số cho $n^2$ (lũy thừa cao nhất của n) để đưa về dạng tính được giới hạn.

$\text{lim}_{n \to \infty} \frac{\frac{n^2}{n^2}+\frac{n}{n^2}}{\frac{2n^2}{n^2}+\frac{6n}{n^2}} = \text{lim}_{n \to \infty} \frac{1+\frac{1}{n}}{2+\frac{6}{n}}$.

Áp dụng các quy tắc tính giới hạn:

• $\text{lim}_{n \to \infty} 1 = 1$.
• $\text{lim}_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$.
• $\text{lim}_{n \to \infty} 2 = 2$.
• $\text{lim}_{n \to \infty} \frac{6}{n} = 0$.

Vậy, $\text{lim}_{n \to \infty} \frac{1+\frac{1}{n}}{2+\frac{6}{n}} = \frac{1+0}{2+0} = \frac{1}{2}$.

Kết luận: Giới hạn của biểu thức đã cho là $\frac{1}{2}$.

***

e) Tính lim $\frac{1+2+2^2+…+2^n}{1+3+3^2+…+3^n}$

Lời giải chi tiết:

Cả tử số và mẫu số đều là tổng của một cấp số nhân. Ta sẽ sử dụng công thức tổng của cấp số nhân để rút gọn.

Bước 1: Rút gọn tử số.

Tử số là $A = 1+2+2^2+…+2^n$.

Đây là tổng của một cấp số nhân với:

• Số hạng đầu $u_1 = 1$.
• Công bội $q = 2$.
• Số các số hạng là $n+1$ (từ $2^0$ đến $2^n$).

Công thức tổng của cấp số nhân là $S_k = \frac{u_1(q^k-1)}{q-1}$.

Vậy, $A = \frac{1(2^{n+1}-1)}{2-1} = 2^{n+1}-1$.

Bước 2: Rút gọn mẫu số.

Mẫu số là $B = 1+3+3^2+…+3^n$.

Đây là tổng của một cấp số nhân với:

• Số hạng đầu $u_1 = 1$.
• Công bội $q = 3$.
• Số các số hạng là $n+1$.

Vậy, $B = \frac{1(3^{n+1}-1)}{3-1} = \frac{3^{n+1}-1}{2}$.

Bước 3: Viết lại biểu thức giới hạn.

Biểu thức giới hạn trở thành: $\text{lim}_{n \to \infty} \frac{2^{n+1}-1}{\frac{3^{n+1}-1}{2}}$.

Ta có thể viết gọn lại:

$\text{lim}_{n \to \infty} \frac{2(2^{n+1}-1)}{3^{n+1}-1} = \text{lim}_{n \to \infty} \frac{2^{n+2}-2}{3^{n+1}-1}$.

Bước 4: Tính giới hạn của biểu thức.

Để tính giới hạn của biểu thức có dạng lũy thừa khi n tiến ra vô cùng, ta chia cả tử số và mẫu số cho lũy thừa có cơ số lớn nhất (ở đây là $3^{n+1}$).

$\text{lim}_{n \to \infty} \frac{\frac{2^{n+2}-2}{3^{n+1}}}{\frac{3^{n+1}-1}{3^{n+1}}} = \text{lim}_{n \to \infty} \frac{\frac{2^{n+2}}{3^{n+1}} – \frac{2}{3^{n+1}}}{1 – \frac{1}{3^{n+1}}}$.

Ta biến đổi số hạng $\frac{2^{n+2}}{3^{n+1}}$:

$\frac{2^{n+2}}{3^{n+1}} = \frac{2 \cdot 2^{n+1}}{3^{n+1}} = 2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}$.

Vậy biểu thức trở thành:

$\text{lim}_{n \to \infty} \frac{2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{n+1} – \frac{2}{3^{n+1}}}{1 – \frac{1}{3^{n+1}}}$.

Áp dụng các quy tắc tính giới hạn:

• Vì $0 < \frac{2}{3} < 1$, nên $\text{lim}_{n \to \infty} \left(\frac{2}{3}\right)^{n+1} = 0$.
• $\text{lim}_{n \to \infty} \frac{2}{3^{n+1}} = 0$ (vì mẫu số $3^{n+1}$ tiến ra vô cùng rất nhanh).
• $\text{lim}_{n \to \infty} \frac{1}{3^{n+1}} = 0$ (tương tự).

Vậy, $\text{lim}_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 0 – 0}{1 – 0} = \frac{0}{1} = 0$.

Kết luận: Giới hạn của biểu thức đã cho là $0$.

***

Cô hy vọng qua các bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ hơn về cách tiếp cận và giải quyết các bài toán giới hạn của dãy số. Điều quan trọng là phải biết cách biến đổi biểu thức về dạng cơ bản, dễ tính giới hạn. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi lại cô nhé!