Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán lượng giác khá thú vị, đó là biểu diễn cos(4a) theo cos(a). Bài toán này giúp chúng ta vận dụng linh hoạt các công thức lượng giác đã học. Thầy sẽ hướng dẫn các em từng bước chi tiết nhé.

Bước 1: Phân tích bài toán và định hướng phương pháp.
Chúng ta cần tính cos(4a) theo cos(a). Nhìn vào biểu thức cos(4a), chúng ta có thể thấy số 4 này có thể được tách ra. Một cách tự nhiên, chúng ta có thể nghĩ đến việc tách 4a thành 2 * (2a). Điều này gợi ý chúng ta sử dụng công thức cộng hoặc công thức nhân đôi.

Bước 2: Áp dụng công thức cos(2x).
Chúng ta có công thức cos(2x) = 2cos^2(x) – 1. Đây là một trong những công thức cơ bản của lượng giác, giúp chúng ta biểu diễn cosin của một góc gấp đôi theo cosin của góc đó.
Ở đây, chúng ta sẽ coi x = 2a.
Vậy, ta có:
\[ \cos(4a) = \cos(2 \cdot 2a) \]
Áp dụng công thức cos(2x) với x = 2a, ta được:
\[ \cos(4a) = 2\cos^2(2a) – 1 \]
Lý do áp dụng công thức này là vì nó cho phép chúng ta “giảm bậc” của góc, từ 4a xuống 2a, và đây là bước đầu tiên để đưa về cos(a).

Bước 3: Tiếp tục phân tích và áp dụng công thức cos(2x) cho cos(2a).
Bây giờ, chúng ta cần biểu diễn cos(2a) theo cos(a). Ta lại tiếp tục áp dụng công thức cos(2x) = 2cos^2(x) – 1, lần này với x = a.
Ta có:
\[ \cos(2a) = 2\cos^2(a) – 1 \]
Lý do áp dụng công thức này là vì chúng ta muốn biểu diễn toàn bộ biểu thức về chỉ còn cos(a).

Bước 4: Thay thế biểu thức cos(2a) vào biểu thức của cos(4a).
Chúng ta đã có:
\[ \cos(4a) = 2\cos^2(2a) – 1 \]
Và
\[ \cos(2a) = 2\cos^2(a) – 1 \]
Bây giờ, chúng ta sẽ thay biểu thức của cos(2a) vào chỗ cos(2a) trong công thức của cos(4a):
\[ \cos(4a) = 2(2\cos^2(a) – 1)^2 – 1 \]
Lý do thực hiện phép thay thế này là để đưa toàn bộ biểu thức cos(4a) chỉ còn chứa biến cos(a).

Bước 5: Rút gọn biểu thức.
Chúng ta cần khai triển và rút gọn biểu thức vừa thu được.
\[ (2\cos^2(a) – 1)^2 = (2\cos^2(a))^2 – 2(2\cos^2(a))(1) + 1^2 \]
\[ = 4\cos^4(a) – 4\cos^2(a) + 1 \]
Bây giờ, thay lại vào biểu thức của cos(4a):
\[ \cos(4a) = 2(4\cos^4(a) – 4\cos^2(a) + 1) – 1 \]
\[ = 8\cos^4(a) – 8\cos^2(a) + 2 – 1 \]
\[ = 8\cos^4(a) – 8\cos^2(a) + 1 \]
Lý do rút gọn là để đưa biểu thức về dạng cuối cùng, đơn giản nhất có thể.

Vậy, kết quả cuối cùng là:
\[ \cos(4a) = 8\cos^4(a) – 8\cos^2(a) + 1 \]

Chúng ta đã hoàn thành bài toán bằng cách vận dụng công thức cos(2x) một cách khéo léo. Các em thấy đó, việc nắm vững các công thức cơ bản và biết cách “chia nhỏ” bài toán là chìa khóa để giải quyết nhiều dạng bài tập lượng giác.