Chào các em học sinh thân mến! Cô rất vui được đồng hành cùng các em trong bài học hôm nay. Chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài tập tính đạo hàm liên quan đến hàm logarit. Các em hãy chú ý theo dõi từng bước nhé.

Bài tập của chúng ta là: Tính đạo hàm của hàm số y = 1/log₂(x).

Để giải bài tập này, chúng ta sẽ áp dụng các quy tắc và công thức đạo hàm đã học.

Bước 1: Xác định dạng của hàm số và các công thức cần sử dụng.

Trước hết, các em hãy quan sát kỹ hàm số y = 1/log₂(x). Chúng ta thấy rằng đây là một hàm số dạng phân thức, trong đó tử số là một hằng số (là 1) và mẫu số là một hàm số khác, đó là hàm logarit cơ số 2 của x, ký hiệu là log₂(x).

Để tính đạo hàm của một hàm số dạng phân thức u/v, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm của thương:
\( (\frac{u}{v})’ = \frac{u’v – uv’}{v^2} \)

Trong trường hợp này, chúng ta có:
u = 1 (là một hằng số)
v = log₂(x)

Tiếp theo, chúng ta cần biết cách tính đạo hàm của hàm logarit. Theo kiến thức đã học, đạo hàm của hàm số logarit \( y = \log_a(x) \) (với a > 0, a ≠ 1) là:
\( y’ = (\log_a(x))’ = \frac{1}{x \ln(a)} \)

Áp dụng công thức này cho mẫu số v = log₂(x), ta có a = 2.
Vậy, đạo hàm của v là:
\( v’ = (log_2(x))’ = \frac{1}{x \ln(2)} \)

Bây giờ, chúng ta hãy xem xét đạo hàm của tử số u = 1. Vì 1 là một hằng số, nên đạo hàm của nó bằng 0.
\( u’ = (1)’ = 0 \)

Bước 2: Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương.

Bây giờ, chúng ta sẽ thay các giá trị u, v, u’, v’ vào công thức đạo hàm của thương:
\( y’ = (\frac{u}{v})’ = \frac{u’v – uv’}{v^2} \)

\( y’ = \frac{(0) \cdot (\log_2(x)) – (1) \cdot (\frac{1}{x \ln(2)})}{(\log_2(x))^2} \)

Bước 3: Rút gọn biểu thức đạo hàm.

Quan sát biểu thức vừa tìm được, chúng ta thấy rằng:
\( 0 \cdot (\log_2(x)) = 0 \)

Vì vậy, biểu thức trở thành:
\( y’ = \frac{0 – \frac{1}{x \ln(2)}}{(\log_2(x))^2} \)

\( y’ = \frac{-\frac{1}{x \ln(2)}}{(\log_2(x))^2} \)

Để biểu thức gọn gàng hơn, chúng ta có thể viết lại như sau:
\( y’ = -\frac{1}{x \ln(2) (\log_2(x))^2} \)

Bước 4: Kiểm tra điều kiện xác định của đạo hàm.

Trước khi kết thúc, chúng ta cần xem xét điều kiện để hàm số và đạo hàm của nó xác định.
Hàm số ban đầu y = 1/log₂(x) xác định khi:
1. log₂(x) xác định, tức là x > 0.
2. Mẫu số khác 0, tức là log₂(x) ≠ 0. Điều này tương đương với x ≠ 2⁰, hay x ≠ 1.
Vậy, điều kiện xác định của hàm số là x > 0 và x ≠ 1.

Đạo hàm \( y’ = -\frac{1}{x \ln(2) (\log_2(x))^2} \) xác định khi:
1. Mẫu số \( x \ln(2) (\log_2(x))^2 \) khác 0.
– x ≠ 0
– ln(2) ≠ 0 (điều này luôn đúng)
– (log₂(x))² ≠ 0, tức là log₂(x) ≠ 0, suy ra x ≠ 1.
Kết hợp với điều kiện xác định của hàm số ban đầu, đạo hàm xác định khi x > 0 và x ≠ 1.

Như vậy, chúng ta đã hoàn thành việc tính đạo hàm của hàm số.

Kết luận: Đạo hàm của hàm số y = 1/log₂(x) là \( y’ = -\frac{1}{x \ln(2) (\log_2(x))^2} \).

Cô hy vọng các em đã hiểu rõ từng bước giải bài tập này. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!