Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải bài tập tính đạo hàm của hàm số \(y = \tan\left(\frac{x+1}{2}\right)\). Đây là một dạng bài tập rất cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán 11 về đạo hàm của hàm hợp.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp (còn gọi là quy tắc chuỗi).

Bước 1: Xác định dạng hàm số và công thức đạo hàm cần áp dụng.

Hàm số \(y = \tan\left(\frac{x+1}{2}\right)\) là một hàm hợp, có dạng \(y = \tan(u)\) trong đó \(u = \frac{x+1}{2}\).

Vì vậy, chúng ta sẽ sử dụng công thức đạo hàm của hàm hợp cho hàm tang:
\[ \left( \tan u \right)’ = \frac{1}{\cos^2 u} \cdot u’ \]

Giải thích: Công thức này cho biết khi đạo hàm một hàm số có dạng \(\tan(u)\) (với \(u\) là một hàm số của \(x\)), ta sẽ lấy đạo hàm của hàm tang theo biến \(u\) (là \(\frac{1}{\cos^2 u}\)), sau đó nhân với đạo hàm của hàm bên trong \(u\) theo biến \(x\) (là \(u’\)). Đây là bản chất của quy tắc đạo hàm hàm hợp, giúp chúng ta “phá vỡ” hàm số phức tạp thành các phần đơn giản hơn để đạo hàm.

Bước 2: Tính đạo hàm của “hàm bên trong” \(u\).

Ta có \(u = \frac{x+1}{2}\). Để tính \(u’\), chúng ta có thể viết lại \(u = \frac{1}{2}(x+1)\).

Áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng và hằng số nhân với hàm số:

\[ u’ = \left( \frac{x+1}{2} \right)’ \]
\[ u’ = \frac{1}{2} \cdot (x+1)’ \]

Giải thích: Theo quy tắc đạo hàm, hằng số \(\frac{1}{2}\) được giữ nguyên, ta chỉ cần đạo hàm biểu thức \((x+1)\) bên trong ngoặc. Điều này giúp việc tính toán trở nên đơn giản hơn.

Tiếp tục, ta tính đạo hàm của \((x+1)\):

\[ (x+1)’ = x’ + 1′ \]

Giải thích: Đạo hàm của một tổng bằng tổng các đạo hàm. Ta áp dụng công thức \((f(x) + g(x))’ = f'(x) + g'(x)\).

\[ (x+1)’ = 1 + 0 \]

Giải thích: Đạo hàm của \(x\) (tức là \(x^1\)) là \(1 \cdot x^{1-1} = 1 \cdot x^0 = 1\). Đạo hàm của một hằng số (trong trường hợp này là \(1\)) luôn bằng \(0\).

\[ (x+1)’ = 1 \]

Vậy, đạo hàm của \(u\) là:

\[ u’ = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} \]

Bước 3: Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp.

Bây giờ chúng ta đã có \(u = \frac{x+1}{2}\) và \(u’ = \frac{1}{2}\).

Thay các giá trị này vào công thức đạo hàm hàm hợp cho hàm tang đã nêu ở Bước 1:

\[ y’ = \left( \tan u \right)’ = \frac{1}{\cos^2 u} \cdot u’ \]
\[ y’ = \frac{1}{\cos^2 \left(\frac{x+1}{2}\right)} \cdot \frac{1}{2} \]

Bước 4: Viết kết quả cuối cùng.

Sắp xếp lại biểu thức để có dạng gọn gàng nhất:

\[ y’ = \frac{1}{2 \cos^2 \left(\frac{x+1}{2}\right)} \]

Hoặc, nếu các em đã học về hàm secant, có thể viết dưới dạng:

\[ y’ = \frac{1}{2} \sec^2 \left(\frac{x+1}{2}\right) \]

Giải thích: Chúng ta biết rằng \(\sec x = \frac{1}{\cos x}\), nên \(\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}\). Cả hai cách viết đều đúng và thường gặp trong các tài liệu hoặc bài kiểm tra.

Vậy, đạo hàm của hàm số \(y = \tan\left(\frac{x+1}{2}\right)\) là \(y’ = \frac{1}{2 \cos^2 \left(\frac{x+1}{2}\right)}\).

Hy vọng lời giải chi tiết này giúp các em hiểu rõ hơn về cách tính đạo hàm của hàm hợp nhé! Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp các em nắm vững kiến thức này. Chúc các em học tốt!