Chúng ta bắt đầu với bài toán sau nhé:

“Tính độ sâu của đáy hồ nơi có bong bóng khí nổi lên từ đáy, biết khối lượng riêng của nước là \( {{10}^{3}}\,{kg}/{{{m}^{3}}}\;, \) thể tích của bong bóng khí tại mặt hồ tăng 1,2 lần so với ở đáy hồ và áp suất tại mặt hồ là \( {{10}^{5}} \) Pa, lấy \( g=10{m}/{{{s}^{2}}}\;. \) Biết công thức tính áp suất theo độ sâu là \( p={{p}_{o}}+\rho gh={{p}_{o}}+Dh. \)”

Các em chú ý, chúng ta sẽ giải bài tập này từng bước một, bám sát kiến thức đã học trong sách giáo khoa Vật lý lớp 10.

Bước 1: Phân tích đề bài và xác định các đại lượng đã cho

Đầu tiên, chúng ta cần xác định rõ những gì đề bài đã cho và yêu cầu chúng ta tìm gì.
– Khối lượng riêng của nước: \( \rho = {{10}^{3}}\,{kg}/{{{m}^{3}}}\; \)
– Tỉ lệ thể tích của bong bóng khí: \( {{V}_{mặt}} = 1,2 \cdot {{V}_{đáy}} \)
– Áp suất tại mặt hồ: \( {{p}_{mặt}} = {{10}^{5}} \) Pa
– Gia tốc trọng trường: \( g = 10{m}/{{{s}^{2}}}\; \)
– Công thức tính áp suất: \( p = {{p}_{o}} + \rho gh \) (trong đó \( {{p}_{o}} \) là áp suất khí quyển, thường được hiểu là áp suất tại mặt chất lỏng).

Yêu cầu của bài toán là tính độ sâu của đáy hồ, ký hiệu là \( h \).

Bước 2: Xác định các trạng thái của bong bóng khí

Chúng ta có hai trạng thái quan trọng của bong bóng khí cần xét:
1. Trạng thái 1: Bong bóng khí ở đáy hồ.
2. Trạng thái 2: Bong bóng khí ở mặt hồ.

Chúng ta sẽ áp dụng định luật về chất khí để liên hệ hai trạng thái này. Tuy nhiên, trước đó, chúng ta cần xác định áp suất và thể tích tại mỗi trạng thái.

Bước 3: Xác định áp suất và thể tích tại đáy hồ và mặt hồ

– Tại mặt hồ (Trạng thái 2):
– Áp suất: \( {{p}_{mặt}} = {{10}^{5}} \) Pa. Đây chính là áp suất khí quyển tác dụng lên mặt nước, tương ứng với \( {{p}_{o}} \) trong công thức \( p = {{p}_{o}} + \rho gh \) khi \( h=0 \).
– Thể tích: Đề bài cho biết thể tích ở mặt hồ tăng 1,2 lần so với ở đáy. Gọi thể tích ở đáy là \( {{V}_{đáy}} \), thì thể tích ở mặt hồ là \( {{V}_{mặt}} = 1,2 \cdot {{V}_{đáy}} \).

– Tại đáy hồ (Trạng thái 1):
– Áp suất: Gọi áp suất tại đáy hồ là \( {{p}_{đáy}} \). Theo công thức \( p = {{p}_{o}} + \rho gh \), với \( h \) là độ sâu của đáy hồ, ta có:
\[ {{p}_{đáy}} = {{p}_{mặt}} + \rho gh \]
Vì \( {{p}_{mặt}} \) đã cho là áp suất tại mặt hồ (tức là áp suất khí quyển), chúng ta sẽ dùng giá trị này làm \( {{p}_{o}} \) và công thức tính áp suất tại đáy sẽ là:
\[ {{p}_{đáy}} = {{10}^{5}} + {{10}^{3}} \cdot 10 \cdot h \]
\[ {{p}_{đáy}} = {{10}^{5}} + {{10}^{4}}h \]
– Thể tích: Là \( {{V}_{đáy}} \).

Bước 4: Áp dụng định luật Boyle – Mariotte cho bong bóng khí

Bong bóng khí này có thể coi như một lượng khí lí tưởng. Khi bong bóng khí nổi lên từ đáy hồ lên mặt hồ, nhiệt độ của nó không thay đổi đáng kể (chúng ta giả sử nhiệt độ không đổi). Do đó, ta có thể áp dụng định luật Boyle – Mariotte, phát biểu rằng: Với một lượng khí nhất định ở nhiệt độ không đổi, tích của áp suất và thể tích là một đại lượng không đổi.

Áp dụng cho hai trạng thái của bong bóng khí:
\[ {{p}_{đáy}} \cdot {{V}_{đáy}} = {{p}_{mặt}} \cdot {{V}_{mặt}} \]

Bước 5: Thay thế các biểu thức và giải phương trình tìm h

Bây giờ, chúng ta sẽ thay các biểu thức áp suất và thể tích chúng ta đã xác định ở Bước 3 vào phương trình ở Bước 4.

Thay \( {{p}_{đáy}} = {{10}^{5}} + {{10}^{4}}h \), \( {{p}_{mặt}} = {{10}^{5}} \), \( {{V}_{mặt}} = 1,2 \cdot {{V}_{đáy}} \) vào phương trình:
\[ ({{10}^{5}} + {{10}^{4}}h) \cdot {{V}_{đáy}} = {{10}^{5}} \cdot (1,2 \cdot {{V}_{đáy}}) \]

Chúng ta thấy \( {{V}_{đáy}} \) xuất hiện ở cả hai vế của phương trình. Vì thể tích \( {{V}_{đáy}} \) là một đại lượng dương, chúng ta có thể chia cả hai vế cho \( {{V}_{đáy}} \):
\[ {{10}^{5}} + {{10}^{4}}h = {{10}^{5}} \cdot 1,2 \]
\[ {{10}^{5}} + {{10}^{4}}h = 1,2 \cdot {{10}^{5}} \]

Bây giờ, chúng ta tiến hành giải phương trình này để tìm \( h \):
\[ {{10}^{4}}h = 1,2 \cdot {{10}^{5}} – {{10}^{5}} \]
\[ {{10}^{4}}h = (1,2 – 1) \cdot {{10}^{5}} \]
\[ {{10}^{4}}h = 0,2 \cdot {{10}^{5}} \]
\[ {{10}^{4}}h = 20000 \]

Để tìm \( h \), ta chia cả hai vế cho \( {{10}^{4}} \):
\[ h = \frac{20000}{{{10}^{4}}} \]
\[ h = \frac{2 \cdot {{10}^{4}}}{{{10}^{4}}} \]
\[ h = 2 \]

Đơn vị của độ sâu \( h \) sẽ là mét (m), vì chúng ta đã sử dụng các đơn vị chuẩn trong hệ SI.

Bước 6: Kết luận

Vậy, độ sâu của đáy hồ nơi có bong bóng khí nổi lên là 2 mét.

Các em thấy không, chỉ cần nắm vững kiến thức về áp suất chất lỏng và các định luật khí, chúng ta có thể giải quyết bài toán này một cách dễ dàng. Quan trọng là phải đọc kỹ đề, xác định đúng các đại lượng và áp dụng công thức phù hợp.

Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, các em cứ mạnh dạn hỏi cô nhé!