Tính giá trị biểu thức:
\(A=\) sin \(π/8\) cos \((3π)/8\)
\(A=\) sin \(π/8\) cos \((3π)/8\)
Trước khi bắt đầu, cô muốn nhắc lại một số công thức lượng giác quen thuộc mà chúng ta đã học.
Bước 1: Nhận dạng bài toán và các công thức liên quan
Nhìn vào biểu thức \(A=\) sin \(π/8\) cos \((3π)/8\), chúng ta thấy đây là tích của một hàm sin và một hàm cos. Trong Sách giáo khoa, chúng ta đã được học các công thức biến đổi tích thành tổng. Cụ thể, công thức chúng ta cần sử dụng ở đây là:
\[ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} [\sin(\alpha – \beta) + \sin(\alpha + \beta)] \]
Ở đây, ta có thể đặt \(\alpha = \pi/8\) và \(\beta = 3\pi/8\).
Bước 2: Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng
Thay \(\alpha\) và \(\beta\) vào công thức trên, ta có:
\(A = \sin(\pi/8) \cos(3\pi/8)\)
\(A = \frac{1}{2} [\sin(\frac{\pi}{8} – \frac{3\pi}{8}) + \sin(\frac{\pi}{8} + \frac{3\pi}{8})]\)
Bước 3: Tính toán các giá trị trong ngoặc
Tiếp theo, chúng ta sẽ tính toán các giá trị trong ngoặc của biểu thức:
\(\frac{\pi}{8} – \frac{3\pi}{8} = \frac{\pi – 3\pi}{8} = \frac{-2\pi}{8} = -\frac{\pi}{4}\)
\(\frac{\pi}{8} + \frac{3\pi}{8} = \frac{\pi + 3\pi}{8} = \frac{4\pi}{8} = \frac{\pi}{2}\)
Vậy, biểu thức \(A\) trở thành:
\(A = \frac{1}{2} [\sin(-\frac{\pi}{4}) + \sin(\frac{\pi}{2})]\)
Bước 4: Tính giá trị các hàm sin đã biết
Bây giờ, chúng ta sẽ tính giá trị của các hàm sin mà chúng ta đã học:
Ta biết rằng \(\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4})\). Và \(\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
Do đó, \(\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).
Ta cũng biết rằng \(\sin(\frac{\pi}{2}) = 1\).
Thay các giá trị này vào biểu thức \(A\):
\(A = \frac{1}{2} [-\frac{\sqrt{2}}{2} + 1]\)
Bước 5: Rút gọn biểu thức cuối cùng
Cuối cùng, chúng ta thực hiện phép rút gọn để có kết quả cuối cùng:
\(A = \frac{1}{2} (1 – \frac{\sqrt{2}}{2})\)
\(A = \frac{1}{2} – \frac{\sqrt{2}}{4}\)
Vậy, giá trị của biểu thức \(A=\) sin \(π/8\) cos \((3π)/8\) là \(\frac{1}{2} – \frac{\sqrt{2}}{4}\).
Các em thấy đấy, chỉ cần nắm vững công thức và thực hiện từng bước cẩn thận, chúng ta hoàn toàn có thể giải quyết được bài toán này. Các em hãy thử áp dụng cách làm tương tự cho các bài tập khác trong Sách giáo khoa nhé!
Đáp án:
\(A = \dfrac{2-\sqrt2}{4}\)
Giải thích các bước giải:
Áp dụng công thức:
\[\boxed{\sin a.\cos b = \dfrac12\left[\sin(a+b) + \sin(a-b)\right]}\]
Ta được:
\(\quad A = \sin\dfrac{\pi}{8}\cdot\cos\dfrac{3\pi}{8}\)
\(\to A = \dfrac12\left[\sin\left(\dfrac{\pi}{8} + \dfrac{3\pi}{8}\right) + \sin\left(\dfrac{\pi}{8} – \dfrac{3\pi}{8}\right)\right]\)
\(\to A = \dfrac12\left(\sin\dfrac{\pi}{2} – \sin\dfrac{\pi}{4}\right)\)
\(\to A = \dfrac12\left(1 – \dfrac{\sqrt2}{2}\right)\)
\(\to A = \dfrac{2-\sqrt2}{4}\)
Xin 5* và câu hay nhất nha