Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, cô sẽ hướng dẫn các em tính giá trị lượng giác của góc 150 độ. Đây là một bài tập rất quan trọng trong chương trình lượng giác lớp 10 của chúng ta.

Để giải bài tập này, chúng ta sẽ sử dụng đường tròn lượng giác. Các em hãy cùng lấy giấy bút ra và vẽ hình cùng cô nhé!

Bước 1: Vẽ đường tròn lượng giác

Đầu tiên, các em vẽ một đường tròn có tâm O (gốc tọa độ) và bán kính bằng 1.
Trục hoành là trục Ox, trục tung là trục Oy.
Điểm A nằm trên trục Ox dương, có tọa độ (1, 0). Điểm này tương ứng với góc 0 độ.

Bước 2: Xác định vị trí của góc 150 độ trên đường tròn lượng giác

Góc 150 độ là một góc tù, lớn hơn 90 độ và nhỏ hơn 180 độ.
Chúng ta sẽ quay ngược chiều kim đồng hồ từ tia Ox dương một góc 150 độ.

* Góc 90 độ sẽ nằm trên trục Oy dương.
* Góc 180 độ sẽ nằm trên trục Ox âm.

Vậy, góc 150 độ sẽ nằm ở góc phần tư thứ hai của đường tròn lượng giác.

Để xác định chính xác vị trí, chúng ta có thể lấy góc 180 độ trừ đi một góc phụ.
Góc phụ với 150 độ là: \(180^\circ – 150^\circ = 30^\circ\)

Như vậy, góc 150 độ có cùng vị trí với việc quay ngược chiều kim đồng hồ một góc 150 độ, hoặc quay theo chiều kim đồng hồ một góc \(360^\circ – 150^\circ = 210^\circ\).

Chúng ta đang quan tâm đến góc 150 độ được tạo bởi tia Ox dương và một tia còn lại quay ngược chiều kim đồng hồ.

Bước 3: Xác định tọa độ điểm M biểu diễn góc 150 độ trên đường tròn lượng giác

Gọi M là điểm trên đường tròn lượng giác tương ứng với góc 150 độ.
Tọa độ của điểm M là \( (x_M, y_M) \).

Theo định nghĩa, giá trị lượng giác của góc \( \alpha \) được xác định như sau:
* \( \cos \alpha = x_M \) (hoành độ của điểm M)
* \( \sin \alpha = y_M \) (tung độ của điểm M)

Chúng ta biết rằng góc 150 độ nằm ở góc phần tư thứ hai. Ở góc phần tư này, hoành độ \(x_M\) sẽ âm và tung độ \(y_M\) sẽ dương.

Bây giờ, chúng ta sẽ sử dụng mối liên hệ giữa góc 150 độ và góc 30 độ.
Góc 150 độ và góc 30 độ có mối liên hệ đặc biệt: \(150^\circ = 180^\circ – 30^\circ\).

Chúng ta đã học các công thức về góc hơn kém nhau \(180^\circ\), góc bù nhau và góc phụ nhau.
Ở đây, góc 150 độ và góc 30 độ là hai góc bù nhau (tổng bằng 180 độ). Tuy nhiên, cách dùng góc phụ sẽ dễ dàng hơn trong việc tìm giá trị.

Xét tam giác vuông được tạo bởi điểm M, hình chiếu của M lên trục Ox (gọi là H) và tâm O.
Góc \( \angle MOH = 150^\circ \) (góc ở tâm).
Tuy nhiên, việc tạo tam giác vuông từ góc 150 độ trực tiếp thì hơi phức tạp.

Chúng ta sẽ dùng công thức góc bù:
* \( \sin(180^\circ – \alpha) = \sin \alpha \)
* \( \cos(180^\circ – \alpha) = -\cos \alpha \)

Áp dụng với \( \alpha = 30^\circ \) và góc \(180^\circ – 30^\circ = 150^\circ\):

* \( \sin 150^\circ = \sin(180^\circ – 30^\circ) = \sin 30^\circ \)
* \( \cos 150^\circ = \cos(180^\circ – 30^\circ) = -\cos 30^\circ \)

Chúng ta đã biết các giá trị lượng giác của góc 30 độ từ các bài học trước:
* \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)
* \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Bước 4: Tính giá trị lượng giác của góc 150 độ

Thay các giá trị đã biết vào công thức:

* \( \sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)
* \( \cos 150^\circ = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)

Bây giờ, chúng ta cũng có thể tính các giá trị lượng giác còn lại là tang và cotang.

* \( \tan 150^\circ = \frac{\sin 150^\circ}{\cos 150^\circ} = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{2} \times (-\frac{2}{\sqrt{3}}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} \)
Chúng ta có thể trục căn thức ở mẫu: \( -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \)

* \( \cot 150^\circ = \frac{\cos 150^\circ}{\sin 150^\circ} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \times 2 = -\sqrt{3} \)

Kết luận:

Vậy, các giá trị lượng giác của góc 150 độ là:
* \( \sin 150^\circ = \frac{1}{2} \)
* \( \cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
* \( \tan 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3} \)
* \( \cot 150^\circ = -\sqrt{3} \)

Các em hãy xem lại các bước giải và hình vẽ của mình. Nếu có chỗ nào chưa rõ, hãy mạnh dạn hỏi cô nhé! Đây là nền tảng rất quan trọng để chúng ta tiếp tục với các bài tập phức tạp hơn.