Tính giới hạn lim( √(n² – 2n + 3) – n)
Bài toán của chúng ta là tính giới hạn: lim( √(n² – 2n + 3) – n) khi n tiến ra dương vô cùng.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp nhân liên hợp, một kỹ thuật rất quen thuộc khi gặp dạng vô định ∞ – ∞.
Bước 1: Nhận dạng dạng vô định
Khi n tiến ra dương vô cùng, ta có:
n² – 2n + 3 sẽ tiến ra dương vô cùng.
Do đó, √(n² – 2n + 3) cũng sẽ tiến ra dương vô cùng.
Vậy, ta có dạng vô định: ∞ – ∞.
Bước 2: Nhân và chia với biểu thức liên hợp
Biểu thức liên hợp của √(n² – 2n + 3) – n chính là √(n² – 2n + 3) + n.
Chúng ta sẽ nhân tử và mẫu với biểu thức này:
lim( √(n² – 2n + 3) – n ) = lim ( (√(n² – 2n + 3) – n) * (√(n² – 2n + 3) + n) ) / (√(n² – 2n + 3) + n)
Áp dụng hằng đẳng thức (a – b)(a + b) = a² – b² với a = √(n² – 2n + 3) và b = n, ta có:
= lim ( (n² – 2n + 3) – n² ) / (√(n² – 2n + 3) + n)
Bước 3: Rút gọn tử số
Tử số sau khi rút gọn sẽ là: n² – 2n + 3 – n² = -2n + 3.
Vậy, giới hạn trở thành:
= lim ( -2n + 3 ) / (√(n² – 2n + 3) + n)
Bước 4: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của n
Bây giờ, chúng ta sẽ chia cả tử và mẫu cho n (vì n tiến ra dương vô cùng, n > 0).
Khi chia cho n vào trong căn bậc hai, ta phải chia cho n².
Tử số: (-2n + 3) / n = -2 + 3/n
Mẫu số: (√(n² – 2n + 3) + n) / n = √( (n² – 2n + 3) / n² ) + n/n
= √( n²/n² – 2n/n² + 3/n² ) + 1
= √( 1 – 2/n + 3/n² ) + 1
Vậy, giới hạn bây giờ là:
= lim ( -2 + 3/n ) / (√( 1 – 2/n + 3/n² ) + 1)
Bước 5: Tính giới hạn khi n tiến ra dương vô cùng
Khi n tiến ra dương vô cùng, ta có các giới hạn sau:
lim (3/n) = 0
lim (2/n) = 0
lim (3/n²) = 0
Thay các giá trị này vào biểu thức giới hạn:
= ( -2 + 0 ) / (√( 1 – 0 + 0 ) + 1)
= -2 / (√1 + 1)
= -2 / (1 + 1)
= -2 / 2
= -1
Vậy, giới hạn của biểu thức đã cho là -1.
Kết luận:
lim( √(n² – 2n + 3) – n) = -1
Hy vọng với cách trình bày chi tiết này, các em đã hiểu rõ bài toán. Hãy ôn tập kỹ phương pháp nhân liên hợp và cách xử lý khi chia cho n vào trong căn bậc hai nhé! Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy.
Đáp án:
\(lim(\sqrt{n^2-2n+3}-n)=-1\)
Giải thích các bước giải:
\(lim(\sqrt{n^2-2n+3}-n)\)
\(=lim((\sqrt{n^2-2n+3}-n)(\sqrt{n^2-2n+3}+n))/(\sqrt{n^2-2n+3}+n)\)
\(=lim(n^2-2n+3-n^2)/(\sqrt{n^2(1-2/n+3/n^2)}+n\)
\(=lim(-2n+3)/(n\sqrt{1-2/n+3/n^2}+n)\)
\(=lim(n(-2+3/n))/(n(\sqrt{1-2/n+3/n^2}+1)\)
\(=lim(-2+3/n)/(\sqrt{1-2/n+3/n^2}+1)\)
\(=(-2+0)/(\sqrt{1-0+0}+1}=-1\)
Đáp án:
Giải thích các bước giải: