Tính giới hạn lim (sinx/x) khi x tiến tới dương vô cùng

Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán giới hạn quen thuộc nhưng rất thú vị trong chương trình Toán 11, đó là tính giới hạn của hàm số $\frac{\sin x}{x}$ khi $x$ tiến tới dương vô cùng.

Đây là một dạng bài điển hình để chúng ta vận dụng Định lý kẹp (hay Định lý giới hạn bị chặn). Lý do chọn phương pháp này là vì hàm số $\sin x$ là một hàm bị chặn (luôn nằm trong một khoảng giá trị cố định), còn mẫu số $x$ thì lại tiến tới vô cùng. Sự kết hợp giữa một hàm bị chặn và một hàm tiến tới vô cùng (khi nó nằm ở mẫu số) thường dẫn đến giới hạn bằng 0, và Định lý kẹp là công cụ hoàn hảo để chứng minh điều đó một cách chặt chẽ, phù hợp với kiến thức Toán 11.

Bây giờ, chúng ta hãy cùng nhau đi vào lời giải chi tiết từng bước nhé!

Lời giải:

Bước 1: Nhận xét về miền giá trị của hàm $\sin x$.

Chúng ta biết rằng, với mọi giá trị thực của $x$, hàm số $\sin x$ luôn có giá trị nằm trong khoảng từ $–1$ đến $1$.
Tức là:

$$–1\le \sin x\le 1$$

Bước 2: Chia các vế của bất đẳng thức cho $x$.

Vì chúng ta đang xét giới hạn khi $x\to +\infty$, điều này có nghĩa là $x$ sẽ nhận các giá trị dương và ngày càng lớn. Do đó, khi chia các vế của bất đẳng thức ở Bước 1 cho $x$ (một số dương), chiều của bất đẳng thức sẽ không thay đổi.

Ta được:

$$\frac{–1}{x}\le \frac{\sin x}{x}\le \frac{1}{x}$$

Bước 3: Tính giới hạn của hai hàm số “kẹp” ở hai bên.

Bây giờ, chúng ta sẽ tính giới hạn của hàm số bên trái và hàm số bên phải khi $x\to +\infty$.

Đối với hàm số bên trái:

$$\lim \frac{–1}{x}\mathrm{khi}x\to +\infty =0$$

Lý do là vì khi mẫu số $x$ tiến tới vô cùng, phân số $\frac{–1}{x}$ sẽ tiến về $0$.

Đối với hàm số bên phải:

$$\lim \frac{1}{x}\mathrm{khi}x\to +\infty =0$$

Tương tự, khi mẫu số $x$ tiến tới vô cùng, phân số $\frac{1}{x}$ cũng sẽ tiến về $0$.

Bước 4: Áp dụng Định lý kẹp.

Chúng ta có bất đẳng thức:

$$\frac{–1}{x}\le \frac{\sin x}{x}\le \frac{1}{x}$$

Và chúng ta đã thấy rằng:

$$\lim \frac{–1}{x}\mathrm{khi}x\to +\infty =0$$

$$\lim \frac{1}{x}\mathrm{khi}x\to +\infty =0$$

Theo Định lý kẹp, nếu một hàm số bị chặn giữa hai hàm số khác mà cả hai hàm số “kẹp” đó đều có cùng một giới hạn $L$ khi $x$ tiến tới một giá trị nào đó (ở đây là $+\infty$), thì hàm số bị kẹp giữa chúng cũng phải có giới hạn là $L$.

Trong trường hợp này, cả hai hàm kẹp đều tiến về $0$ khi $x\to +\infty$. Vậy, áp dụng Định lý kẹp, ta suy ra:

$$\lim \frac{\sin x}{x}\mathrm{khi}x\to +\infty =0$$

Kết luận:

Giới hạn của $\frac{\sin x}{x}$ khi $x$ tiến tới dương vô cùng là $0$.

Hy vọng lời giải chi tiết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về cách vận dụng Định lý kẹp trong việc tính toán giới hạn. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!