Chào các em học sinh yêu quý,

Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán tìm giới hạn của dãy số, một dạng bài thường gặp trong chương trình Toán 11. Bài toán này đòi hỏi chúng ta phải biết cách biến đổi biểu thức để khử dạng vô định.

Đề bài: Tính giới hạn \(\lim \frac{1}{\left(\sqrt{n^2 + 2}\right) – \left(\sqrt{n^2 + 4}\right)}\)

Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Phân tích và nhận dạng dạng vô định của biểu thức.

Khi \(n \to +\infty\), chúng ta xét biểu thức ở mẫu:

\[ \left(\sqrt{n^2 + 2}\right) – \left(\sqrt{n^2 + 4}\right) \]

Khi \(n\) tiến tới vô cùng, \(n^2 + 2\) và \(n^2 + 4\) cũng tiến tới vô cùng. Do đó, \(\sqrt{n^2 + 2} \to +\infty\) và \(\sqrt{n^2 + 4} \to +\infty\).
Mẫu số có dạng \(\infty – \infty\), đây là một dạng vô định mà chúng ta cần khử.

Lý do cần biến đổi: Các em nhớ rằng, khi gặp dạng vô định \(\infty – \infty\) (hoặc \(\frac{\infty}{\infty}\), \(\frac{0}{0}\), …) chúng ta không thể kết luận ngay giá trị của giới hạn mà cần phải thực hiện các phép biến đổi đại số để đưa về dạng có thể tính toán được.

Bước 2: Sử dụng phương pháp nhân liên hợp để khử dạng vô định.

Để khử dạng vô định \(\sqrt{A} – \sqrt{B}\), phương pháp hiệu quả nhất là nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu, tức là \(\sqrt{A} + \sqrt{B}\). Điều này giúp chúng ta áp dụng hằng đẳng thức \( (a-b)(a+b) = a^2 – b^2 \).

Trong trường hợp này, biểu thức liên hợp của mẫu \(\left(\sqrt{n^2 + 2}\right) – \left(\sqrt{n^2 + 4}\right)\) là \(\left(\sqrt{n^2 + 2}\right) + \left(\sqrt{n^2 + 4}\right)\).

Ta có:

\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\left(\sqrt{n^2 + 2}\right) – \left(\sqrt{n^2 + 4}\right)} \]

Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp:

\[ = \lim_{n \to +\infty} \frac{1 \cdot \left(\left(\sqrt{n^2 + 2}\right) + \left(\sqrt{n^2 + 4}\right)\right)}{\left(\left(\sqrt{n^2 + 2}\right) – \left(\sqrt{n^2 + 4}\right)\right) \cdot \left(\left(\sqrt{n^2 + 2}\right) + \left(\sqrt{n^2 + 4}\right)\right)} \]

Bước 3: Rút gọn mẫu số.

Áp dụng hằng đẳng thức \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\) với \(a = \sqrt{n^2 + 2}\) và \(b = \sqrt{n^2 + 4}\), ta có mẫu số trở thành:

\[ \left(\sqrt{n^2 + 2}\right)^2 – \left(\sqrt{n^2 + 4}\right)^2 \]

\[ = (n^2 + 2) – (n^2 + 4) \]

\[ = n^2 + 2 – n^2 – 4 \]

\[ = -2 \]

Lý do: Việc sử dụng hằng đẳng thức này giúp loại bỏ dấu căn bậc hai và thường là loại bỏ các số hạng chứa \(n\) ở mẫu, biến mẫu thành một hằng số hoặc một biểu thức đơn giản hơn, dễ dàng tính giới hạn hơn.

Bước 4: Thay thế và tính giới hạn của biểu thức mới.

Bây giờ, giới hạn của chúng ta trở thành:

\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{\left(\sqrt{n^2 + 2}\right) + \left(\sqrt{n^2 + 4}\right)}{-2} \]

Tiếp theo, chúng ta xét giới hạn của tử số khi \(n \to +\infty\):

\[ \lim_{n \to +\infty} \left(\sqrt{n^2 + 2}\right) \]

Vì \(n^2 + 2 \to +\infty\) khi \(n \to +\infty\), nên \(\sqrt{n^2 + 2} \to +\infty\).

Tương tự:

\[ \lim_{n \to +\infty} \left(\sqrt{n^2 + 4}\right) \]

Vì \(n^2 + 4 \to +\infty\) khi \(n \to +\infty\), nên \(\sqrt{n^2 + 4} \to +\infty\).

Do đó, tử số \(\left(\sqrt{n^2 + 2}\right) + \left(\sqrt{n^2 + 4}\right) \to (+\infty) + (+\infty) = +\infty\).

Vậy, giới hạn của biểu thức ban đầu là:

\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{+\infty}{-2} \]

Khi tử số tiến tới dương vô cùng và mẫu số là một hằng số âm, giới hạn sẽ là âm vô cùng.

\[ = -\infty \]

Lý do: Đây là quy tắc tính giới hạn của thương. Nếu tử số tiến tới \(\infty\) (hoặc \(-\infty\)) và mẫu số là một hằng số khác 0, thì giới hạn của thương sẽ là \(\infty\) (hoặc \(-\infty\)) với dấu phù hợp.

Kết luận:

Vậy, giá trị của giới hạn là \(-\infty\).

Hi vọng với lời giải chi tiết và những giải thích cụ thể này, các em đã hiểu rõ hơn về cách giải quyết dạng toán này. Hãy luyện tập thêm để nắm vững kiến thức nhé!