Chào các em, thầy sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết bài tập này.

Đây là một dạng toán tính nguyên hàm của hàm số lượng giác có số mũ chẵn. Phương pháp chung chúng ta sẽ sử dụng là công thức hạ bậc để đưa biểu thức về dạng không còn lũy thừa, từ đó có thể tính nguyên hàm một cách dễ dàng.

Bước 1: Phân tích và áp dụng công thức hạ bậc lần thứ nhất

Ta có \( \cos^4x = (\cos^2x)^2 \).
Bây giờ, chúng ta sẽ sử dụng công thức hạ bậc quen thuộc mà các em đã học ở lớp 11:
\[ \cos^2x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \]
Thay công thức này vào biểu thức ban đầu, ta được:
\[ \cos^4x = \left(\frac{1 + \cos(2x)}{2}\right)^2 \]
Khai triển hằng đẳng thức này, ta có:
\[ \cos^4x = \frac{1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \cos(2x) + (\cos(2x))^2}{2^2} = \frac{1 + 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4} \]
Ta có thể viết lại gọn hơn là:
\[ \cos^4x = \frac{1}{4} (1 + 2\cos(2x) + \cos^2(2x)) \]

Bước 2: Tiếp tục hạ bậc cho số hạng còn lại

Trong biểu thức trên, chúng ta lại thấy sự xuất hiện của \( \cos^2(2x) \). Đây lại là một hàm cosin có số mũ chẵn, vì vậy chúng ta phải tiếp tục hạ bậc một lần nữa.
Áp dụng công thức hạ bậc \( \cos^2a = \frac{1 + \cos(2a)}{2} \) với \( a = 2x \), ta có:
\[ \cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(2 \cdot 2x)}{2} = \frac{1 + \cos(4x)}{2} \]

Bước 3: Thay thế và rút gọn biểu thức

Bây giờ, chúng ta thay kết quả ở Bước 2 vào biểu thức cuối của Bước 1:
\[ \cos^4x = \frac{1}{4} \left(1 + 2\cos(2x) + \frac{1 + \cos(4x)}{2}\right) \]
Để tính toán dễ hơn, chúng ta sẽ quy đồng và rút gọn biểu thức trong ngoặc:
\[ \cos^4x = \frac{1}{4} \left(\frac{2}{2} + \frac{4\cos(2x)}{2} + \frac{1 + \cos(4x)}{2}\right) \]
\[ \cos^4x = \frac{1}{4} \left(\frac{2 + 4\cos(2x) + 1 + \cos(4x)}{2}\right) \]
\[ \cos^4x = \frac{1}{8} (3 + 4\cos(2x) + \cos(4x)) \]
Tách ra thành các số hạng riêng lẻ:
\[ \cos^4x = \frac{3}{8} + \frac{4}{8}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x) = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x) \]

Bước 4: Tính nguyên hàm

Bây giờ, biểu thức của chúng ta đã được đưa về tổng của các hàm số cơ bản. Ta có thể dễ dàng tính nguyên hàm của từng số hạng:
\[ I = \int \cos^4x \, dx = \int \left(\frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x)\right) dx \]
Áp dụng tính chất tuyến tính của nguyên hàm:
\[ I = \int \frac{3}{8} \, dx + \int \frac{1}{2}\cos(2x) \, dx + \int \frac{1}{8}\cos(4x) \, dx \]
\[ I = \frac{3}{8} \int dx + \frac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx + \frac{1}{8} \int \cos(4x) \, dx \]
Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản \( \int k \, dx = kx + C \) và \( \int \cos(ax+b) \, dx = \frac{1}{a}\sin(ax+b) + C \):
\[ I = \frac{3}{8}x + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\sin(2x) + \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{4}\sin(4x) + C \]

Bước 5: Kết luận

Rút gọn biểu thức cuối cùng, ta có kết quả của bài toán:
\[ \int \cos^4x \, dx = \frac{3}{8}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + \frac{1}{32}\sin(4x) + C \]
Trong đó C là hằng số tích phân.

Tóm tắt phương pháp: Khi gặp nguyên hàm của \( \cos^n x \) hoặc \( \sin^n x \) với n là số chẵn, các em hãy nhớ đến phương pháp “hạ bậc” liên tiếp cho đến khi trong biểu thức không còn lũy thừa bậc cao nữa.

Chúc các em học tốt