Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, thầy sẽ hướng dẫn chúng ta giải một bài tập nguyên hàm rất quen thuộc và quan trọng, giúp các em ôn lại và nắm vững phương pháp đổi biến số. Bài toán yêu cầu chúng ta tính nguyên hàm của hàm số sau:

\[ \int \frac{\ln x}{x} dx \]

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp đổi biến số (hay còn gọi là phương pháp thay thế). Lý do chúng ta chọn phương pháp này là vì khi quan sát biểu thức dưới dấu nguyên hàm \(\frac{\ln x}{x}\), chúng ta nhận thấy rằng nó có chứa cả hàm \(\ln x\) và đạo hàm của nó là \(\frac{1}{x}\). Cụ thể, \(\frac{1}{x}\) chính là đạo hàm của \(\ln x\). Điều này gợi ý mạnh mẽ rằng việc đặt \(\ln x\) làm biến phụ sẽ đơn giản hóa bài toán.

Chúng ta cùng thực hiện theo các bước sau nhé:

Bước 1: Đặt biến phụ (biến mới)

Chúng ta sẽ đặt:

\[ u = \ln x \]

(Giải thích: Việc đặt biến phụ \(u = \ln x\) giúp chúng ta “che giấu” biểu thức phức tạp \(\ln x\) bằng một biến đơn giản hơn là \(u\).)

Bước 2: Tính vi phân của biến phụ

Sau khi đặt biến phụ, chúng ta cần tính vi phân của \(u\), tức là \(du\). Vi phân của một hàm số được tính bằng đạo hàm của hàm số đó nhân với vi phân của biến ban đầu. Đạo hàm của \(\ln x\) là \(\frac{1}{x}\).

Vậy, ta có:

\[ du = d(\ln x) = \frac{1}{x} dx \]

(Giải thích: Bước này rất quan trọng. Nó cho phép chúng ta thay thế cụm \(\frac{1}{x} dx\) trong nguyên hàm ban đầu bằng \(du\), giúp chuyển toàn bộ nguyên hàm về biến \(u\).)

Bước 3: Thay thế vào biểu thức nguyên hàm ban đầu

Bây giờ, chúng ta thay các biểu thức đã đặt vào nguyên hàm ban đầu:

Nguyên hàm ban đầu là: \(\int \frac{\ln x}{x} dx\)

Với \(u = \ln x\) và \(du = \frac{1}{x} dx\), nguyên hàm trở thành:

\[ \int u \, du \]

(Giải thích: Nhờ phép đổi biến, một nguyên hàm trông có vẻ phức tạp ban đầu đã trở thành một nguyên hàm cơ bản và rất dễ tính theo biến \(u\).)

Bước 4: Tính nguyên hàm theo biến \(u\)

Đây là nguyên hàm cơ bản mà chúng ta đã học:

\[ \int u \, du = \frac{u^{1+1}}{1+1} + C = \frac{u^2}{2} + C \]

(Giải thích: Chúng ta đã áp dụng công thức nguyên hàm của lũy thừa: \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\), trong trường hợp này \(n=1\) và biến là \(u\). \(C\) là hằng số tích phân.)

Bước 5: Thay biến \(u\) trở lại theo biến \(x\)

Cuối cùng, chúng ta cần đưa kết quả về lại biến \(x\) ban đầu. Vì ở Bước 1 chúng ta đã đặt \(u = \ln x\), chúng ta sẽ thay \(\ln x\) vào vị trí của \(u\) trong kết quả vừa tìm được:

\[ \frac{u^2}{2} + C = \frac{(\ln x)^2}{2} + C \]

Vậy, nguyên hàm của \(\frac{\ln x}{x}\) là:

\[ \int \frac{\ln x}{x} dx = \frac{(\ln x)^2}{2} + C \]

Thầy hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ hơn về phương pháp đổi biến số và cách áp dụng nó một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để nắm vững kiến thức nhé!