Tính nguyên hàm: sin2x dx

Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, thầy/cô sẽ hướng dẫn các em giải bài tập tính nguyên hàm này một cách chi tiết và dễ hiểu nhất, đúng theo kiến thức chúng ta đã học trong chương trình Toán lớp 12 nhé.

Bài toán yêu cầu chúng ta tính nguyên hàm của hàm số $\sin \left(2x\right)$.

Để tính nguyên hàm của một hàm số có dạng $\sin (\mathrm{ax}+b)$ hoặc $\cos (\mathrm{ax}+b)$, phương pháp hiệu quả và thường được sử dụng nhất trong chương trình của chúng ta là phương pháp đổi biến số. Lý do là vì chúng ta đã biết công thức nguyên hàm cơ bản của $\sin \left(u\right)$ là $–\cos \left(u\right)+C$, nhưng ở đây là $\sin \left(2x\right)$, một hàm hợp. Việc đặt $u=2x$ sẽ giúp chúng ta đưa về dạng cơ bản hơn để dễ dàng tính toán.

Chúng ta bắt đầu thực hiện các bước sau:

Bước 1: Đặt biến phụ

Chúng ta đặt $u=2x$.

Bước 2: Tính vi phân

Từ biểu thức đã đặt, chúng ta lấy vi phân hai vế:

$$\mathrm{du}=(2x{)}^{\prime }\mathrm{dx}$$
$$\mathrm{du}=2\mathrm{dx}$$

Từ đây, chúng ta rút $\mathrm{dx}$ theo $\mathrm{du}$:

$$\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{du}}{2}$$

Bước 3: Thay thế vào nguyên hàm ban đầu

Bây giờ, chúng ta thay $u=2x$ và $\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{du}}{2}$ vào nguyên hàm cần tính:

$$\int \sin \left(2x\right)\mathrm{dx}=\int \sin \left(u\right)\frac{\mathrm{du}2}{}$$

Sử dụng tính chất của nguyên hàm ($\int kf\left(x\right)\mathrm{dx}=k\int f\left(x\right)\mathrm{dx}$), chúng ta đưa hằng số ra ngoài dấu nguyên hàm:

$$\int \sin \left(u\right)\frac{\mathrm{du}}{2}=\frac{1}{2}\int \sin \left(u\right)\mathrm{du}$$

Bước 4: Tính nguyên hàm theo biến phụ

Chúng ta đã biết công thức nguyên hàm cơ bản của hàm $\sin \left(u\right)$ là $–\cos \left(u\right)+C$:

$$\frac{1}{2}\int \sin \left(u\right)\mathrm{du}=\frac{1}{2}(–\cos (u\left)\right)+C$$
$$=–\frac{1}{2}\cos \left(u\right)+C$$

Bước 5: Thay biến ban đầu trở lại

Cuối cùng, chúng ta thay $u=2x$ trở lại vào kết quả để có nguyên hàm theo biến $x$:

$$–\frac{1}{2}\cos \left(u\right)+C=–\frac{1}{2}\cos \left(2x\right)+C$$

Vậy, nguyên hàm của $\sin \left(2x\right)$ là:

$$\int \sin \left(2x\right)\mathrm{dx}=–\frac{1}{2}\cos \left(2x\right)+C$$

Trong đó, $C$ là hằng số tích phân.