Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, cô trò mình sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán tính nhanh rất thú vị trong chương trình Toán lớp 5 nhé. Bài toán này tuy nhìn có vẻ nhiều phân số, nhưng thực ra lại có một mẹo nhỏ để giải quyết cực kỳ nhanh gọn.

Các em hãy quan sát đề bài sau:

1/1×2 + 1/2×3 + 1/3×4 + 1/4×5 + 1/5×6 + 1/6×7 + …. + 1/9×10 + 1/10×11

Để tính nhanh bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng một quy tắc rất quan trọng trong toán học, đó là “tách phân số”.

Bước 1: Quan sát quy luật của các phân số

Các em hãy nhìn kỹ các phân số trong dãy:
1/1×2, 1/2×3, 1/3×4, …

Chúng ta thấy rằng, mẫu số của mỗi phân số là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nhau. Tích này có một đặc điểm rất hay, đó là hiệu của hai thừa số ở mẫu bằng 1 (ví dụ: 2 – 1 = 1, 3 – 2 = 1, 4 – 3 = 1,…).

Bước 2: Áp dụng quy tắc tách phân số

Với một phân số có dạng 1/(ax(a+1)), chúng ta có thể tách nó thành hiệu của hai phân số:
\[ \frac{1}{a \times (a+1)} = \frac{1}{a} – \frac{1}{a+1} \]

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng quy tắc này cho từng phân số trong bài toán của mình:

* Phân số đầu tiên: 1/1×2
Ta có: \( \frac{1}{1 \times 2} = \frac{1}{1} – \frac{1}{2} \)

* Phân số thứ hai: 1/2×3
Ta có: \( \frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} – \frac{1}{3} \)

* Phân số thứ ba: 1/3×4
Ta có: \( \frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} – \frac{1}{4} \)

Cứ tiếp tục như vậy cho đến phân số cuối cùng:

* Phân số 1/9×10
Ta có: \( \frac{1}{9 \times 10} = \frac{1}{9} – \frac{1}{10} \)

* Phân số 1/10×11
Ta có: \( \frac{1}{10 \times 11} = \frac{1}{10} – \frac{1}{11} \)

Bước 3: Viết lại phép tính sau khi tách phân số

Bây giờ, chúng ta sẽ thay thế từng phân số trong đề bài bằng hiệu của hai phân số vừa tìm được:

1/1×2 + 1/2×3 + 1/3×4 + … + 1/10×11

= \( (\frac{1}{1} – \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} – \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} – \frac{1}{4}) + … + (\frac{1}{9} – \frac{1}{10}) + (\frac{1}{10} – \frac{1}{11}) \)

Bước 4: Rút gọn phép tính

Các em hãy nhìn vào biểu thức vừa viết lại. Chúng ta sẽ thấy có rất nhiều số hạng bị triệt tiêu lẫn nhau. Đây chính là điểm “tính nhanh” của bài toán này.

\( \frac{1}{1} \cancel{- \frac{1}{2}} \cancel{+ \frac{1}{2}} \cancel{- \frac{1}{3}} \cancel{+ \frac{1}{3}} \cancel{- \frac{1}{4}} + … \cancel{- \frac{1}{10}} \cancel{+ \frac{1}{10}} – \frac{1}{11} \)

Quan sát kỹ, chúng ta thấy rằng:
– Số hạng \( -\frac{1}{2} \) ở nhóm đầu sẽ triệt tiêu với số hạng \( +\frac{1}{2} \) ở nhóm thứ hai.
– Số hạng \( -\frac{1}{3} \) ở nhóm thứ hai sẽ triệt tiêu với số hạng \( +\frac{1}{3} \) ở nhóm thứ ba.
– Cứ như thế, tất cả các số hạng ở giữa sẽ lần lượt bị triệt tiêu.

Chỉ còn lại hai số hạng ở đầu và ở cuối: \( \frac{1}{1} \) và \( -\frac{1}{11} \).

Vậy, phép tính của chúng ta trở thành:

\( \frac{1}{1} – \frac{1}{11} \)

Bước 5: Thực hiện phép trừ

Bây giờ, chúng ta chỉ cần thực hiện phép trừ hai phân số này:

\( \frac{1}{1} – \frac{1}{11} = \frac{1 \times 11}{1 \times 11} – \frac{1}{11} = \frac{11}{11} – \frac{1}{11} = \frac{11 – 1}{11} = \frac{10}{11} \)

Kết luận:

Vậy, kết quả của phép tính 1/1×2 + 1/2×3 + 1/3×4 + 1/4×5 + 1/5×6 + 1/6×7 + …. + 1/9×10 + 1/10×11 là \( \frac{10}{11} \).

Các em thấy không, chỉ cần áp dụng quy tắc “tách phân số” và “triệt tiêu”, bài toán trông phức tạp đã trở nên vô cùng đơn giản. Các em hãy nhớ quy tắc này và áp dụng cho các bài toán tương tự nhé!

Cô hy vọng bài giảng này đã giúp các em hiểu rõ cách giải bài toán này. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!