Chào các em học sinh thân mến!
Hôm nay, cô trò mình sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán tính nhanh thú vị về luỹ thừa. Bài toán này sẽ giúp các em ôn lại một số hằng đẳng thức đáng nhớ mà chúng ta đã học trong chương trình Toán lớp 8. Chúng ta hãy cùng bắt đầu nhé!

Bài toán: Tính nhanh 99^3 + 1 + 3.(99^2 + 99)

Lời giải chi tiết:

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các hằng đẳng thức đã học, đặc biệt là hằng đẳng thức “Lập phương của một tổng”.

Bước 1: Quan sát và nhận dạng

Chúng ta thấy trong biểu thức có dạng \(a^3\) và các số hạng khác có vẻ liên quan đến \(99\) và \(1\). Ta hãy thử biến đổi biểu thức một chút để xem có áp dụng được hằng đẳng thức nào không.

Biểu thức ban đầu là: 99^3 + 1 + 3.(99^2 + 99)

Ta nhận thấy rằng \(1 = 1^3\).

Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức “Lập phương của một tổng”

Hằng đẳng thức “Lập phương của một tổng” có dạng: (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

Hoặc ta cũng có thể viết: (a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)

Bây giờ, chúng ta hãy thử nhóm các số hạng trong biểu thức để tạo thành một biểu thức tương tự như hằng đẳng thức trên.

Ta có thể viết lại biểu thức như sau:
99^3 + 1^3 + 3.(99^2 + 99)

Chúng ta để ý đến phần 3.(99^2 + 99). Ta có thể đặt 99 làm nhân tử chung bên trong dấu ngoặc:
3.(99^2 + 99) = 3.99.(99 + 1)

Vậy, biểu thức của chúng ta trở thành:
99^3 + 1^3 + 3.99.(99 + 1)

Bây giờ, các em hãy so sánh biểu thức này với hằng đẳng thức (a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b).

Nếu ta đặt a = 99 và b = 1, thì ta có:
a^3 = 99^3
b^3 = 1^3
3ab(a + b) = 3.99.1.(99 + 1) = 3.99.(99 + 1)

Như vậy, biểu thức 99^3 + 1^3 + 3.99.(99 + 1) chính là dạng khai triển của (99 + 1)^3.

Bước 3: Tính toán kết quả

Do đó, ta có:
99^3 + 1 + 3.(99^2 + 99) = (99 + 1)^3

Tính toán trong ngoặc trước:
99 + 1 = 100

Vậy, ta cần tính:
100^3

100^3 có nghĩa là 100 nhân với chính nó 3 lần:
100^3 = 100 100 100 = 1,000,000

Kết luận:

Vậy, giá trị của biểu thức 99^3 + 1 + 3.(99^2 + 99) là 1,000,000.

Các em thấy không, nhờ việc nhận dạng và áp dụng đúng hằng đẳng thức, chúng ta đã có thể tính toán bài toán này một cách nhanh chóng và chính xác, thay vì phải thực hiện các phép tính luỹ thừa và nhân chia phức tạp. Hãy luôn ghi nhớ các hằng đẳng thức để có thể vận dụng hiệu quả trong các bài toán nhé!