Tính sin (a+π/6) , cos(π/4-a) biết sina = -5/13 và π<a<3π/2.

Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập khá quen thuộc liên quan đến các công thức lượng giác trong chương trình Toán 11. Đây là dạng bài tập rèn luyện kỹ năng vận dụng công thức cộng và xác định dấu của các giá trị lượng giác.

Đề bài: Tính $\sin (a+\frac{\pi }{6})$ và $\cos (\frac{\pi }{4}–a)$ biết $\sin a=–\frac{5}{13}$ và $\pi <a<\frac{3\pi }{2}$.

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác định giá trị của $\cos a$.

Chúng ta đã biết $\sin a=–\frac{5}{13}$. Để tìm $\cos a$, chúng ta sử dụng công thức lượng giác cơ bản: ${\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a=1$.

Lý do áp dụng: Đây là hệ thức cơ bản liên hệ giữa sin và cos của cùng một góc, giúp chúng ta tìm một giá trị lượng giác khi biết giá trị còn lại.

Thay $\sin a=–\frac{5}{13}$ vào công thức, ta có:

$${(–\frac{5}{13})}^2+{\cos }^{2}a=1$$

$$\frac{25}{169}+{\cos }^{2}a=1$$

$${\cos }^{2}a=1–\frac{25}{169}=\frac{169–25}{169}=\frac{144}{169}$$

Vậy, $\cos a=\pm \sqrt{\frac{144}{169}}=\pm \frac{12}{13}$

Đề bài cho biết $\pi <a<\frac{3\pi }{2}$. Khoảng này là góc phần tư thứ III trên đường tròn lượng giác. Trong góc phần tư thứ III, giá trị của $\cos a$ luôn âm.

Lý do áp dụng: Việc xét dấu của các giá trị lượng giác dựa vào góc phần tư của cung $a$ là kiến thức quan trọng để chọn đúng giá trị của $\cos a$

Do đó, chúng ta chọn $\cos a=–1213$

Bước 2: Tính $\sin (a+\frac{\pi }{6})$.

Chúng ta sử dụng công thức cộng cho sin: $\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$

Lý do áp dụng: Đây là một trong các công thức cộng cơ bản được học trong chương trình Toán lớp 11, dùng để tính giá trị sin của một tổng hai góc.

Áp dụng với $x=a$ và $y=\frac{\pi }{6}$

Ta có các giá trị cần dùng:

• $\sin a=–\frac{5}{13}$
• $\cos a=–\frac{12}{13}$
• $\sin (\frac{\pi }{6})=\frac{1}{2}$
• $\cos (\frac{\pi }{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Thay các giá trị này vào công thức:

$$\sin (a+\frac{\pi }{6})=\sin a\cos \frac{\pi }{6}+\cos a\sin \frac{\pi }{6}$$

$$=(–\frac{5}{13})\cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})+(–\frac{12}{13})\cdot (\frac{1}{2})$$

$$=–\frac{5\sqrt{3}}{26}–\frac{12}{26}$$

$$=–\frac{5\sqrt{3}+12}{26}$$

Bước 3: Tính $\cos (\frac{\pi }{4}–a)$.

Chúng ta sử dụng công thức cộng cho cos (hiệu hai góc): $\cos (x–y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$

Lý do áp dụng: Tương tự như công thức cộng cho sin, đây là công thức cộng cho cos, được sử dụng để tính giá trị cos của một hiệu hai góc.

Áp dụng với $x=\frac{\pi }{4}$ và $y=a$

Ta có các giá trị cần dùng:

• $\sin a=–\frac{5}{13}$
• $\cos a=–\frac{12}{13}$
• $\sin (\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\cos (\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Thay các giá trị này vào công thức:

$$\cos (\frac{\pi }{4}–a)=\cos \frac{\pi }{4}\cos a+\sin \frac{\pi }{4}\sin a$$

$$=(\frac{\sqrt{2}}{2})\cdot (–\frac{12}{13})+(\frac{\sqrt{2}}{2})\cdot (–\frac{5}{13})$$

$$=–\frac{12\sqrt{2}}{26}–\frac{5\sqrt{2}}{26}$$

$$=–\frac{17\sqrt{2}}{26}$$

Kết luận:

Vậy, ta có:

• $\sin (a+\frac{\pi }{6})=–\frac{5\sqrt{3}+12}{26}$
• $\cos (\frac{\pi }{4}–a)=–\frac{17\sqrt{2}}{26}$

Chúc các em học tốt và nắm vững các công thức lượng giác nhé!