Chào em, rất vui được hướng dẫn em giải bài tập này. Đây là một bài toán thú vị về lượng giác, đòi hỏi chúng ta vận dụng các công thức biến đổi tích thành tổng và công thức nhân đôi mà chúng ta đã học trong chương trình Toán lớp 11.

Giải thích phương pháp:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Nhận diện và tách các giá trị lượng giác đặc biệt đã biết.
2. Chuyển đổi các hàm tan về sin và cos.
3. Tính tích các sin riêng và tích các cos riêng bằng cách sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng/hiệu và công thức nhân đôi. Việc này giúp biến đổi các tích của các hàm lượng giác có các góc đặc biệt (20, 40, 80) về các giá trị đơn giản hoặc các biểu thức có thể triệt tiêu.
4. Kết hợp các kết quả để tìm ra giá trị cuối cùng của biểu thức.

Bây giờ chúng ta cùng đi vào lời giải chi tiết nhé!

Lời giải chi tiết:

Biểu thức cần tính là:

$$A=\tan 20°·\tan 40°·\tan 60°·\tan 80°$$

Bước 1: Tách giá trị lượng giác đặc biệt

Ta biết rằng $\tan 60°=\sqrt{3}$. Vậy, ta có thể viết lại biểu thức A như sau:

$$A=\sqrt{3}·\tan 20°·\tan 40°·\tan 80°$$

Bước 2: Biến đổi hàm tan về sin và cos

Chúng ta sử dụng công thức $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$. Do đó, phần còn lại của biểu thức có thể viết là:

$$\tan 20°·\tan 40°·\tan 80°=\frac{\sin 20°}{\cos 20°}·\frac{\sin 40°}{\cos 40°}·\frac{\sin 80°}{\cos 80°}$$

$$=\frac{\sin 20°·\sin 40°·\sin 80°}{\cos 20°·\cos 40°·\cos 80°}$$

Bây giờ chúng ta sẽ tính riêng tử số và mẫu số.

Bước 3: Tính tử số $\sin 20°·\sin 40°·\sin 80°$

Chúng ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: $\sin a·\sin b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)-\cos (a+b\left)\right]$

Ta tính tích $\sin 20°·\sin 40°$ trước:

$$\sin 20°·\sin 40°=\frac{1}{2}[\cos (40°-20°)-\cos (40°+20°\left)\right]$$

$$=\frac{1}{2}[\cos 20°-\cos 60°]$$

Vì $\cos 60°=\frac{1}{2}$, ta có:

$$\sin 20°·\sin 40°=\frac{1}{2}[\cos 20°-\frac{1}{2}]=\frac{1}{2}\cos 20°-\frac{1}{4}$$

Bây giờ nhân kết quả này với $\sin 80°$:

$$\sin 20°·\sin 40°·\sin 80°=(\frac{1}{2}\cos 20°-\frac{1}{4})·\sin 80°$$

$$=\frac{1}{2}\cos 20°·\sin 80°-\frac{1}{4}\sin 80°$$

Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: $\cos a·\sin b=\frac{1}{2}[\sin (a+b)-\sin (a-b\left)\right]$ (hoặc $\sin b·\cos a=\frac{1}{2}[\sin (b+a)+\sin (b-a\left)\right]$)

$$\frac{1}{2}\cos 20°·\sin 80°=\frac{1}{2}·\frac{1}{2}[\sin (80°+20°)+\sin (80°-20°\left)\right]$$

$$=\frac{1}{4}[\sin 100°+\sin 60°]$$

Mà $\sin 100°=\sin (180°-80°)=\sin 80°$ và $\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Thay vào ta được:

$$\frac{1}{4}[\sin 80°+\frac{\sqrt{3}}{2}]=\frac{1}{4}\sin 80°+\frac{\sqrt{3}}{8}$$

Vậy tử số là:

$$\sin 20°·\sin 40°·\sin 80°=(\frac{1}{4}\sin 80°+\frac{\sqrt{3}}{8})-\frac{1}{4}\sin 80°$$

$$=\frac{\sqrt{3}}{8}$$

Bước 4: Tính mẫu số $\cos 20°·\cos 40°·\cos 80°$

Đối với tích các cos, chúng ta có thể sử dụng công thức nhân đôi: $\sin 2x=2\sin x·\cos x$, suy ra $\cos x=\frac{\sin 2x}{2\sin x}$.

Đặt $P=\cos 20°·\cos 40°·\cos 80°$. Để dễ dàng áp dụng công thức nhân đôi, ta sẽ nhân cả biểu thức với $\sin 20°$ và chia cho $\sin 20°$ (nhớ là $\sin 20°\ne 0$):

$$P=\frac{\sin 20°·\cos 20°·\cos 40°·\cos 80°}{\sin 20°}$$

Nhân tử số với $2$ và chia mẫu số cho $2$ (tức là nhân cả phân thức với $\frac{2}{2}$):

$$P=\frac{(2\sin 20°·\cos 20°)·\cos 40°·\cos 80°}{2\sin 20°}$$

Áp dụng công thức nhân đôi $2\sin x·\cos x=\sin 2x$:

$$P=\frac{\sin (2·20°)·\cos 40°·\cos 80°}{2\sin 20°}=\frac{\sin 40°·\cos 40°·\cos 80°}{2\sin 20°}$$

Tiếp tục nhân tử và mẫu với $2$:

$$P=\frac{(2\sin 40°·\cos 40°)·\cos 80°}{4\sin 20°}=\frac{\sin (2·40°)·\cos 80°}{4\sin 20°}=\frac{\sin 80°·\cos 80°}{4\sin 20°}$$

Tiếp tục nhân tử và mẫu với $2$ một lần nữa:

$$P=\frac{2\sin 80°·\cos 80°}{8\sin 20°}=\frac{\sin (2·80°)}{8\sin 20°}=\frac{\sin 160°}{8\sin 20°}$$

Sử dụng công thức $\sin (180°-x)=\sin x$, ta có $\sin 160°=\sin (180°-20°)=\sin 20°$. Do đó:

$$P=\frac{\sin 20°}{8\sin 20°}=\frac{1}{8}$$

Bước 5: Kết hợp các kết quả

Chúng ta đã có:

• $\tan 60°=\sqrt{3}$
• Tử số: $\sin 20°·\sin 40°·\sin 80°=\frac{\sqrt{3}}{8}$
• Mẫu số: $\cos 20°·\cos 40°·\cos 80°=\frac{1}{8}$

Thay các giá trị này vào biểu thức A:

$$A=\sqrt{3}·\frac{\sin 20°·\sin 40°·\sin 80°}{\cos 20°·\cos 40°·\cos 80°}$$

$$A=\sqrt{3}·\frac{\frac{\sqrt{3}}{8}}{\frac{1}{8}}$$

$$A=\sqrt{3}·\sqrt{3}$$

$$A=3$$

Vậy giá trị của biểu thức là 3.

Chúc em học tốt và luôn yêu thích môn Toán nhé!