Tính tổng các nghiệm thuộc [0;2π] của pt cos(sinx)=1

Xin chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán thú vị về phương trình lượng giác, một chủ đề rất quan trọng trong chương trình Toán 11 của chúng ta nhé.

Để tính tổng các nghiệm thuộc đoạn $[0;2\pi ]$ của phương trình $\cos (\sin x)=1$, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Giải phương trình lượng giác cơ bản bên ngoài.

Phương trình đã cho có dạng $\cos A=1$, với $A=\sin x$.

Áp dụng công thức nghiệm tổng quát của phương trình $\cos u=1$ là $u=2k\pi$ (với $k\in \mathbb{Z}$).

Do đó, ta có: $\sin x=2k\pi$ (với $k\in \mathbb{Z}$).

Giải thích: Chúng ta đặt $A=\sin x$ để đơn giản hóa phương trình ban đầu thành một dạng cơ bản hơn là $\cos A=1$, giúp việc tìm giá trị của $A$ dễ dàng hơn. Đây là phương pháp “đặt ẩn phụ” quen thuộc.

Bước 2: Tìm các giá trị nguyên của $k$ thỏa mãn điều kiện.

Chúng ta biết rằng, tập giá trị của hàm số $y=\sin x$ là $[-1;1]$. Tức là, với mọi $x\in ℝ$, ta luôn có $-1\le \sin x\le 1$.

Từ phương trình $\sin x=2k\pi$, suy ra:

$-1\le 2k\pi \le 1$

Chia cả ba vế cho $2\pi$ (vì $2\pi >0$, bất đẳng thức không đổi chiều):

$-\frac{1}{2\pi }\le k\le \frac{1}{2\pi }$

Vì $\pi \approx \mathrm{3,14159}$, nên $2\pi \approx \mathrm{6,28318}$.

Vậy ta có: $-\frac{1}{\mathrm{6,28318}}\le k\le \frac{1}{\mathrm{6,28318}}$

Tức là: $-\mathrm{0,159\dots }\le k\le \mathrm{0,159\dots }$

Vì $k$ là số nguyên ($k\in \mathbb{Z}$), giá trị duy nhất của $k$ thỏa mãn điều kiện này là $k=0$.

Giải thích: Chúng ta cần đảm bảo rằng giá trị của $\sin x$ phải nằm trong khoảng $[-1;1]$ bởi đây là tính chất cơ bản của hàm sin. Bước này giúp loại bỏ các giá trị $k$ không hợp lệ, thu hẹp phạm vi tìm nghiệm.

Bước 3: Giải phương trình lượng giác cơ bản cho $x$.

Với $k=0$, ta thay vào phương trình $\sin x=2k\pi$, ta được:

$\sin x=2\cdot 0\cdot \pi$

$\sin x=0$

Áp dụng công thức nghiệm tổng quát của phương trình $\sin u=0$ là $u=m\pi$ (với $m\in \mathbb{Z}$).

Vậy, ta có: $x=m\pi$ (với $m\in \mathbb{Z}$).

Giải thích: Sau khi tìm được giá trị duy nhất của $\sin x$ là $0$, chúng ta quay trở lại giải phương trình lượng giác cơ bản $\sin x=0$ để tìm ra các nghiệm $x$ cụ thể. Đây là bước cuối cùng trong việc tìm nghiệm tổng quát.

Bước 4: Tìm các nghiệm thuộc đoạn $[0;2\pi ]$.

Các nghiệm $x=m\pi$ phải thuộc đoạn $[0;2\pi ]$, tức là:

$0\le m\pi \le 2\pi$

Chia cả ba vế cho $\pi$ (vì $\pi >0$):

$0\le m\le 2$

Vì $m$ là số nguyên ($m\in \mathbb{Z}$), các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn điều kiện này là $m=0,1,2$.

Từ đó, ta tìm được các nghiệm $x$ trong đoạn $[0;2\pi ]$ là:

• Với $m=0$: $x=0\cdot \pi =0$.
• Với $m=1$: $x=1\cdot \pi =\pi$.
• Với $m=2$: $x=2\cdot \pi =2\pi$.

Giải thích: Đề bài yêu cầu tìm nghiệm trên một đoạn cụ thể $[0;2\pi ]$, vì vậy chúng ta cần kiểm tra các nghiệm tổng quát tìm được ở Bước 3 có nằm trong đoạn này hay không. Đây là bước quan trọng để đảm bảo tính chính xác của kết quả cuối cùng theo yêu cầu đề bài.

Bước 5: Tính tổng các nghiệm.

Các nghiệm thuộc đoạn $[0;2\pi ]$ là $0,\pi ,2\pi$.

Tổng các nghiệm là: $0+\pi +2\pi =3\pi$.

Kết luận:

Vậy, tổng các nghiệm của phương trình $\cos (\sin x)=1$ thuộc đoạn $[0;2\pi ]$ là $3\pi$.

Các em nhớ ôn tập kỹ các dạng phương trình lượng giác cơ bản và cách xử lý với điều kiện của nghiệm nhé. Chúc các em học tốt!