Chào các em học sinh yêu quý của thầy! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài tập thú vị liên quan đến khai triển nhị thức Newton. Bài tập của chúng ta là: Tính tổng hệ số trong khai triển của biểu thức (1 – 2x)^4.

Các em còn nhớ khai triển nhị thức Newton chứ? Đối với một biểu thức có dạng (a + b)^n, chúng ta có công thức khai triển như sau:

(a + b)^n = C(n, 0) a^n b^0 + C(n, 1) a^(n-1) b^1 + C(n, 2) a^(n-2) b^2 + … + C(n, n) a^0 b^n

Ở đây, C(n, k) (hay còn viết là \( \binom{n}{k} \)) là tổ hợp chập k của n, được tính bằng công thức: \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

Bây giờ, chúng ta áp dụng công thức này vào bài tập của mình. Biểu thức của chúng ta là (1 – 2x)^4.

So sánh với dạng tổng quát (a + b)^n, ta thấy:
a = 1
b = -2x
n = 4

Vậy, khai triển của (1 – 2x)^4 sẽ là:

(1 – 2x)^4 = \( \binom{4}{0} \cdot 1^4 \cdot (-2x)^0 \) + \( \binom{4}{1} \cdot 1^3 \cdot (-2x)^1 \) + \( \binom{4}{2} \cdot 1^2 \cdot (-2x)^2 \) + \( \binom{4}{3} \cdot 1^1 \cdot (-2x)^3 \) + \( \binom{4}{4} \cdot 1^0 \cdot (-2x)^4 \)

Bây giờ, chúng ta sẽ đi tính từng số hạng một.

Số hạng thứ nhất: \( \binom{4}{0} \cdot 1^4 \cdot (-2x)^0 \)
Ta có: \( \binom{4}{0} = \frac{4!}{0!(4-0)!} = \frac{4!}{0!4!} = 1 \).
\( 1^4 = 1 \).
\( (-2x)^0 = 1 \) (vì mọi số khác 0 mũ 0 đều bằng 1).
Vậy, số hạng thứ nhất là: \( 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \).

Số hạng thứ hai: \( \binom{4}{1} \cdot 1^3 \cdot (-2x)^1 \)
Ta có: \( \binom{4}{1} = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = \frac{4 \times 3!}{1 \times 3!} = 4 \).
\( 1^3 = 1 \).
\( (-2x)^1 = -2x \).
Vậy, số hạng thứ hai là: \( 4 \cdot 1 \cdot (-2x) = -8x \).

Số hạng thứ ba: \( \binom{4}{2} \cdot 1^2 \cdot (-2x)^2 \)
Ta có: \( \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3 \times 2!}{2 \times 1 \times 2!} = \frac{12}{2} = 6 \).
\( 1^2 = 1 \).
\( (-2x)^2 = (-2)^2 \cdot x^2 = 4x^2 \).
Vậy, số hạng thứ ba là: \( 6 \cdot 1 \cdot 4x^2 = 24x^2 \).

Số hạng thứ tư: \( \binom{4}{3} \cdot 1^1 \cdot (-2x)^3 \)
Ta có: \( \binom{4}{3} = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \times 3!}{3! \times 1} = 4 \).
\( 1^1 = 1 \).
\( (-2x)^3 = (-2)^3 \cdot x^3 = -8x^3 \).
Vậy, số hạng thứ tư là: \( 4 \cdot 1 \cdot (-8x^3) = -32x^3 \).

Số hạng thứ năm: \( \binom{4}{4} \cdot 1^0 \cdot (-2x)^4 \)
Ta có: \( \binom{4}{4} = \frac{4!}{4!(4-4)!} = \frac{4!}{4!0!} = 1 \).
\( 1^0 = 1 \).
\( (-2x)^4 = (-2)^4 \cdot x^4 = 16x^4 \).
Vậy, số hạng thứ năm là: \( 1 \cdot 1 \cdot 16x^4 = 16x^4 \).

Ghép các số hạng lại, ta được khai triển đầy đủ:
(1 – 2x)^4 = \( 1 – 8x + 24x^2 – 32x^3 + 16x^4 \)

Bây giờ, yêu cầu của đề bài là tính TỔNG các hệ số. Các hệ số trong khai triển này là các con số đứng trước các lũy thừa của x. Cụ thể là: 1, -8, 24, -32, 16.

Tổng các hệ số là:
1 + (-8) + 24 + (-32) + 16

Chúng ta cộng lại:
1 – 8 + 24 – 32 + 16 = -7 + 24 – 32 + 16 = 17 – 32 + 16 = -15 + 16 = 1.

Vậy, tổng hệ số trong khai triển của (1 – 2x)^4 là 1.

Có một mẹo nhỏ để tính nhanh tổng các hệ số trong khai triển của một biểu thức đa thức, đó là thay x = 1 vào biểu thức đó.
Áp dụng mẹo này cho bài toán của chúng ta:
Thay x = 1 vào (1 – 2x)^4:
(1 – 2 * 1)^4 = (1 – 2)^4 = (-1)^4 = 1.

Các em thấy không, kết quả hoàn toàn trùng khớp! Mẹo này rất hữu ích khi các em gặp những bài tập yêu cầu tính tổng hệ số mà không cần khai triển chi tiết.

Bây giờ, các em hãy xem lại các bước thầy đã trình bày và cố gắng tự mình làm lại bài tập này để nắm vững kiến thức nhé. Có bạn nào có câu hỏi gì không?