Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau đi giải một bài tập về sóng dừng rất thú vị. Bài tập này sẽ giúp chúng ta hiểu rõ hơn về mối liên hệ giữa biên độ sóng và vị trí của các điểm trên dây.

Chúng ta có đề bài như sau: Trên một dây có sóng dừng, bề rộng của bụng sóng là 4A thì khoảng cách gần nhất giữa hai điểm dao động với biên độ bằng A là bao nhiêu?

Bây giờ, chúng ta sẽ cùng nhau phân tích và giải bài tập này từng bước một, bám sát theo kiến thức đã học trong Sách giáo khoa Vật lý lớp 12 nhé.

Bước 1: Phân tích đề bài và các khái niệm liên quan

Đề bài cho chúng ta biết:
– Có sóng dừng trên dây.
– Bề rộng của bụng sóng là 4A. Điều này có nghĩa là biên độ dao động cực đại tại bụng sóng là 2A. (Vì bề rộng là khoảng cách giữa hai điểm biên độ âm và biên độ dương, tức là từ -2A đến 2A).
– Chúng ta cần tìm khoảng cách gần nhất giữa hai điểm có biên độ dao động bằng A.

Trong sóng dừng, các điểm trên dây dao động với biên độ khác nhau, tùy thuộc vào vị trí của chúng so với các nút sóng và bụng sóng.
– Tại các nút sóng, biên độ dao động bằng 0.
– Tại các bụng sóng, biên độ dao động là cực đại.
– Tại các điểm khác, biên độ dao động nằm trong khoảng từ 0 đến biên độ cực đại tại bụng.

Biên độ dao động của một điểm trên dây trong sóng dừng được cho bởi công thức:
\[ A_M = A_{max} |\cos(kx)| \]
Trong đó:
– \(A_M\) là biên độ dao động của điểm M.
– \(A_{max}\) là biên độ dao động cực đại tại bụng sóng.
– \(k\) là số sóng.
– \(x\) là khoảng cách từ điểm M đến nút sóng gần nhất (hoặc có thể tính từ một điểm gốc nào đó và trừ đi vị trí của các nút). Tuy nhiên, cách đơn giản nhất để hiểu là \(x\) liên quan đến vị trí tương đối trong một nửa bước sóng giữa hai nút.

Từ đề bài, ta có bề rộng của bụng sóng là 4A, suy ra biên độ cực đại tại bụng là \(A_{max} = 2A\).
Vậy công thức biên độ dao động của một điểm M trên dây trở thành:
\[ A_M = 2A |\cos(kx)| \]

Bước 2: Xác định vị trí các điểm có biên độ bằng A

Chúng ta cần tìm các điểm có biên độ dao động bằng A, tức là \(A_M = A\).
Thay vào công thức trên:
\[ A = 2A |\cos(kx)| \]
Chia cả hai vế cho A (vì A > 0):
\[ 1 = 2 |\cos(kx)| \]
\[ |\cos(kx)| = \frac{1}{2} \]

Điều này có nghĩa là:
\[ \cos(kx) = \frac{1}{2} \quad \text{hoặc} \quad \cos(kx) = -\frac{1}{2} \]

Chúng ta biết rằng vị trí của các nút sóng là nơi biên độ bằng 0, và vị trí của các bụng sóng là nơi biên độ đạt cực đại. Khoảng cách giữa hai nút sóng liên tiếp là \(\frac{\lambda}{2}\). Khoảng cách giữa hai bụng sóng liên tiếp cũng là \(\frac{\lambda}{2}\). Khoảng cách giữa một nút và một bụng sóng liên tiếp là \(\frac{\lambda}{4}\).

Trong một bó sóng (khoảng cách giữa hai nút liên tiếp), biên độ dao động thay đổi từ 0 (tại nút) đến \(A_{max}\) (tại bụng) và trở lại 0 (tại nút tiếp theo).
Ta có thể chọn một nút sóng làm mốc \(x=0\). Khi đó, vị trí của các điểm trên dây trong một bó sóng có thể được biểu diễn bằng khoảng cách \(x\) từ nút sóng đó.

Với \(|\cos(kx)| = \frac{1}{2}\), ta có:
– \(kx = \frac{\pi}{3} + n\pi\)
– \(kx = \frac{2\pi}{3} + n\pi\)

Trong đó \(n\) là số nguyên.

Tuy nhiên, cách tiếp cận theo \(x\) là khoảng cách từ nút sóng sẽ dễ hiểu hơn. Trong một bó sóng (tức là khoảng cách \(\frac{\lambda}{2}\) giữa hai nút), ta có thể xem xét giá trị của \(|\cos(kx)|\).
Khi \(x=0\) (tại nút), \(|\cos(0)| = 1\), \(A_M = 2A\), đây là bụng sóng. (Oops, đây là cách hiểu sai. Nút sóng là biên độ bằng 0. Bụng sóng là biên độ cực đại).

Hãy hiểu lại:
Trong sóng dừng, biên độ của điểm M cách nút gần nhất một khoảng \(x\) được cho bởi \(A_M = A_{max} |\sin(kx)|\) hoặc \(A_M = A_{max} |\cos(kx)|\) tùy thuộc vào ta chọn gốc tọa độ ở đâu.
Cách thông thường nhất là chọn gốc tọa độ tại một nút sóng. Khi đó, vị trí của các nút sóng là \(x = n\frac{\lambda}{2}\) và vị trí của các bụng sóng là \(x = (n+\frac{1}{2})\frac{\lambda}{2}\).
Biên độ dao động của một điểm có tọa độ \(x\) so với gốc tọa độ (là một nút sóng) được cho bởi:
\[ A_M = A_{max} |\sin(kx)| \]
Ở đây, \(A_{max} = 2A\).
\[ A_M = 2A |\sin(kx)| \]

Chúng ta cần tìm \(A_M = A\).
\[ A = 2A |\sin(kx)| \]
\[ |\sin(kx)| = \frac{1}{2} \]

Điều này có nghĩa là:
\[ \sin(kx) = \frac{1}{2} \quad \text{hoặc} \quad \sin(kx) = -\frac{1}{2} \]

Xét trong một bó sóng, tức là \(0 \le x \le \frac{\lambda}{2}\). Khi đó \(0 \le kx \le k\frac{\lambda}{2} = \frac{2\pi}{\lambda} \frac{\lambda}{2} = \pi\).
Trong đoạn \(0 \le kx \le \pi\), ta có:
– \(\sin(kx) = \frac{1}{2}\) khi \(kx = \frac{\pi}{6}\) hoặc \(kx = \frac{5\pi}{6}\).
– \(\sin(kx) = -\frac{1}{2}\) không có nghiệm trong đoạn \(0 \le kx \le \pi\).

Vậy, các vị trí \(x\) (tính từ một nút sóng) mà điểm dao động có biên độ bằng A là:
\(kx = \frac{\pi}{6}\) => \(x_1 = \frac{\lambda}{12}\)
\(kx = \frac{5\pi}{6}\) => \(x_2 = \frac{5\lambda}{12}\)

Điểm \(x_1 = \frac{\lambda}{12}\) cách nút sóng gần nhất một khoảng \(\frac{\lambda}{12}\).
Điểm \(x_2 = \frac{5\lambda}{12}\) cách nút sóng gần nhất một khoảng \(\frac{5\lambda}{12}\).

Khoảng cách giữa hai nút sóng liên tiếp là \(\frac{\lambda}{2}\).
Bụng sóng nằm ở chính giữa hai nút, tức là tại vị trí \(\frac{\lambda}{4}\).
Tại \(x = \frac{\lambda}{12}\), biên độ là \(2A |\sin(\frac{2\pi}{\lambda} \frac{\lambda}{12})| = 2A |\sin(\frac{\pi}{6})| = 2A \cdot \frac{1}{2} = A\).
Tại \(x = \frac{\lambda}{4}\) (bụng sóng), biên độ là \(2A |\sin(\frac{2\pi}{\lambda} \frac{\lambda}{4})| = 2A |\sin(\frac{\pi}{2})| = 2A \cdot 1 = 2A\).
Tại \(x = \frac{5\lambda}{12}\), biên độ là \(2A |\sin(\frac{2\pi}{\lambda} \frac{5\lambda}{12})| = 2A |\sin(\frac{5\pi}{6})| = 2A \cdot \frac{1}{2} = A\).
Tại \(x = \frac{\lambda}{2}\) (nút sóng tiếp theo), biên độ là \(2A |\sin(\frac{2\pi}{\lambda} \frac{\lambda}{2})| = 2A |\sin(\pi)| = 2A \cdot 0 = 0\).

Ta đang tìm khoảng cách gần nhất giữa hai điểm dao động với biên độ bằng A.
Trong một bó sóng (từ nút đến nút kế tiếp), có hai điểm có biên độ bằng A:
– Điểm thứ nhất cách nút sóng đầu tiên một khoảng \(x_1 = \frac{\lambda}{12}\).
– Điểm thứ hai cách nút sóng đầu tiên một khoảng \(x_2 = \frac{5\lambda}{12}\).

Khoảng cách giữa hai điểm này là \(x_2 – x_1 = \frac{5\lambda}{12} – \frac{\lambda}{12} = \frac{4\lambda}{12} = \frac{\lambda}{3}\).

Tuy nhiên, ta cần tìm khoảng cách gần nhất.
Hãy xem xét các vị trí trên toàn bộ dây. Sóng dừng có tính tuần hoàn.
Ta có các vị trí mà biên độ bằng A (tính từ một nút sóng):
… \(\frac{\lambda}{12}\), \(\frac{5\lambda}{12}\), \(\frac{\lambda}{12} + \frac{\lambda}{2}\), \(\frac{5\lambda}{12} + \frac{\lambda}{2}\), …
… \(\frac{\lambda}{12}\), \(\frac{5\lambda}{12}\), \(\frac{7\lambda}{12}\), \(\frac{11\lambda}{12}\), …

Khoảng cách giữa các điểm liên tiếp có biên độ bằng A là:
– Giữa \(\frac{\lambda}{12}\) và \(\frac{5\lambda}{12}\) là \(\frac{4\lambda}{12} = \frac{\lambda}{3}\).
– Giữa \(\frac{5\lambda}{12}\) và \(\frac{7\lambda}{12}\) là \(\frac{2\lambda}{12} = \frac{\lambda}{6}\).
– Giữa \(\frac{7\lambda}{12}\) và \(\frac{11\lambda}{12}\) là \(\frac{4\lambda}{12} = \frac{\lambda}{3}\).
– Giữa \(\frac{11\lambda}{12}\) và (\(\frac{\lambda}{12} + \lambda\)) là \(\frac{2\lambda}{12} = \frac{\lambda}{6}\).

Khoảng cách gần nhất giữa hai điểm dao động với biên độ bằng A là \(\frac{\lambda}{6}\).

Bước 3: Kiểm tra lại và kết luận

Ta có \(A_M = 2A |\sin(kx)|\).
Khi \(A_M = A\), ta có \(|\sin(kx)| = \frac{1}{2}\).
Xét trong một bó sóng, tức là \(0 \le x \le \frac{\lambda}{2}\), hay \(0 \le kx \le \pi\).
Các nghiệm là \(kx = \frac{\pi}{6}\) và \(kx = \frac{5\pi}{6}\).
Suy ra \(x_1 = \frac{\lambda}{12}\) và \(x_2 = \frac{5\lambda}{12}\).
Hai điểm này nằm trong cùng một bó sóng. Khoảng cách giữa chúng là \(x_2 – x_1 = \frac{5\lambda}{12} – \frac{\lambda}{12} = \frac{4\lambda}{12} = \frac{\lambda}{3}\).

Tuy nhiên, sóng dừng có tính đối xứng. Trong một bó sóng, chúng ta có hai điểm có biên độ bằng A. Một điểm cách nút đầu tiên \(\frac{\lambda}{12}\) và điểm kia cách nút đầu tiên \(\frac{5\lambda}{12}\).
Quan trọng là, hai điểm này nằm ở hai phía khác nhau của bụng sóng.
Vị trí của bụng sóng là \(\frac{\lambda}{4}\).
Khoảng cách từ nút đầu tiên đến bụng sóng là \(\frac{\lambda}{4}\).
Khoảng cách từ bụng sóng đến nút sóng tiếp theo là \(\frac{\lambda}{4}\).

Điểm thứ nhất: \(x_1 = \frac{\lambda}{12}\). Khoảng cách đến bụng sóng là \(\frac{\lambda}{4} – \frac{\lambda}{12} = \frac{3\lambda – \lambda}{12} = \frac{2\lambda}{12} = \frac{\lambda}{6}\).
Điểm thứ hai: \(x_2 = \frac{5\lambda}{12}\). Khoảng cách đến bụng sóng là \(\frac{5\lambda}{12} – \frac{\lambda}{4} = \frac{5\lambda – 3\lambda}{12} = \frac{2\lambda}{12} = \frac{\lambda}{6}\).

Như vậy, hai điểm có biên độ bằng A nằm đối xứng qua bụng sóng, và khoảng cách từ mỗi điểm đến bụng sóng là \(\frac{\lambda}{6}\). Do đó, khoảng cách giữa hai điểm này là \(2 \times \frac{\lambda}{6} = \frac{\lambda}{3}\).

Nhưng câu hỏi là “khoảng cách gần nhất”.
Ta đã có các điểm có biên độ A tại vị trí \(\frac{\lambda}{12}\) và \(\frac{5\lambda}{12}\) trong một bó sóng.
Xét sang bó sóng tiếp theo, tức là từ nút sóng tại \(\frac{\lambda}{2}\) đến nút sóng tại \(\lambda\).
Các vị trí có biên độ bằng A trong bó sóng thứ hai này sẽ là:
\(\frac{\lambda}{2} + \frac{\lambda}{12} = \frac{6\lambda + \lambda}{12} = \frac{7\lambda}{12}\)
\(\frac{\lambda}{2} + \frac{5\lambda}{12} = \frac{6\lambda + 5\lambda}{12} = \frac{11\lambda}{12}\)

Bây giờ, hãy xét khoảng cách giữa các điểm có biên độ bằng A trên toàn dây:
Các vị trí là: \(\dots, \frac{\lambda}{12}, \frac{5\lambda}{12}, \frac{7\lambda}{12}, \frac{11\lambda}{12}, \frac{13\lambda}{12}, \dots\)

Khoảng cách giữa các cặp điểm liên tiếp:
– \(\frac{5\lambda}{12} – \frac{\lambda}{12} = \frac{4\lambda}{12} = \frac{\lambda}{3}\).
– \(\frac{7\lambda}{12} – \frac{5\lambda}{12} = \frac{2\lambda}{12} = \frac{\lambda}{6}\).
– \(\frac{11\lambda}{12} – \frac{7\lambda}{12} = \frac{4\lambda}{12} = \frac{\lambda}{3}\).
– \(\frac{13\lambda}{12} – \frac{11\lambda}{12} = \frac{2\lambda}{12} = \frac{\lambda}{6}\).

Vậy, khoảng cách gần nhất giữa hai điểm dao động với biên độ bằng A là \(\frac{\lambda}{6}\).

Để làm rõ hơn, chúng ta có thể hình dung trên một bó sóng (từ nút đến nút).
Nút sóng (biên độ 0) ——–> Bụng sóng (biên độ 2A) ——–> Nút sóng (biên độ 0)
Khoảng cách là \(\frac{\lambda}{4}\) giữa nút và bụng.
Vị trí \(x\) tính từ nút.
Biên độ \(A_M = 2A |\sin(kx)|\).
Khi \(A_M = A\), \(|\sin(kx)| = \frac{1}{2}\).
Trong \(0 \le kx \le \pi\), ta có \(kx = \frac{\pi}{6}\) và \(kx = \frac{5\pi}{6}\).
\(x_1 = \frac{\lambda}{12}\). Đây là điểm gần nút sóng.
\(x_2 = \frac{5\lambda}{12}\). Điểm này nằm trong bó sóng thứ hai (nếu ta xét \(x\) liên tục từ 0). Nhưng nếu ta xét theo bó sóng, thì \(x_2\) cũng nằm trong bó sóng thứ nhất, cách nút đầu tiên \(\frac{5\lambda}{12}\).
Nút sóng (0) — \(\frac{\lambda}{12}\) — (Điểm A) — \(\frac{\lambda}{4} – \frac{\lambda}{12} = \frac{\lambda}{6}\) — (Bụng sóng) — \(\frac{5\lambda}{12} – \frac{\lambda}{4} = \frac{\lambda}{6}\) — (Điểm A) — \(\frac{\lambda}{2} – \frac{5\lambda}{12} = \frac{\lambda}{12}\) — Nút sóng (\(\frac{\lambda}{2}\)).

Trong một bó sóng, hai điểm có biên độ bằng A cách nhau một khoảng là:
\(\frac{\lambda}{12}\) và \(\frac{5\lambda}{12}\). Khoảng cách là \(\frac{4\lambda}{12} = \frac{\lambda}{3}\).

Tuy nhiên, khi xét trên toàn dây, các điểm có biên độ bằng A xuất hiện ở các vị trí \(\frac{\lambda}{12}\) và \(\frac{7\lambda}{12}\) (trong hai bó sóng liên tiếp).
Khoảng cách giữa điểm tại \(\frac{5\lambda}{12}\) (cuối bó 1) và điểm tại \(\frac{7\lambda}{12}\) (đầu bó 2) là:
\(\frac{7\lambda}{12} – \frac{5\lambda}{12} = \frac{2\lambda}{12} = \frac{\lambda}{6}\).

Đây là khoảng cách gần nhất.

Đáp án:

Khoảng cách gần nhất giữa hai điểm dao động với biên độ bằng A là \(\frac{\lambda}{6}\).