Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau “khám phá” một bài toán ứng dụng rất thú vị, liên quan đến việc tối ưu hóa thể tích mà chúng ta đã học trong chương trình Toán lớp 9 nhé.

Đề bài yêu cầu chúng ta làm gì?

Từ một tấm tôn hình chữ nhật có chiều rộng 30 cm và chiều dài 3m, người ta gò thành một máng nước dạng hình hộp chữ nhật không có nắp và thông 2 đầu. Chúng ta cần tính chiều cao x (cm) của máng nước để thể tích của máng nước đó là lớn nhất.

Hãy cùng thầy phân tích và giải quyết bài toán này từng bước một nhé!

Lời giải:

Bước 1: Chuyển đổi đơn vị và xác định các kích thước của máng nước theo ẩn x.

Đầu tiên, chúng ta cần đảm bảo tất cả các đơn vị đều thống nhất. Chiều dài tấm tôn là 3m, chúng ta sẽ đổi sang centimet:
Chiều dài tấm tôn = \( 3 \, \text{m} = 300 \, \text{cm} \)

Khi gò tấm tôn thành máng nước hình hộp chữ nhật không có nắp và thông 2 đầu, chúng ta hình dung rằng:

• Chiều dài của máng nước chính là chiều dài của tấm tôn ban đầu, tức là \( 300 \, \text{cm} \).
• Chiều rộng của tấm tôn ban đầu (30 cm) được dùng để tạo thành chu vi mặt cắt ngang của máng (không tính phần nắp và đáy). Hay nói cách khác, 30 cm này sẽ tạo thành chiều cao của 2 thành bên và chiều rộng của đáy máng.

Theo đề bài, chiều cao của máng nước là \( x \) (cm).
Vậy, nếu chiều cao máng là \( x \), thì hai thành bên sẽ chiếm \( x + x = 2x \) (cm) của chiều rộng tấm tôn.
Phần còn lại của chiều rộng tấm tôn sẽ là chiều rộng của đáy máng nước.
Chiều rộng đáy máng nước = \( 30 – 2x \) (cm).

Bước 2: Xác định điều kiện tồn tại của máng nước.

Để máng nước có thể được tạo thành, các kích thước phải là số dương.

\[ \text{Chiều cao } x > 0 \]
\[ \text{Chiều rộng đáy máng } 30 – 2x > 0 \]
Từ \( 30 – 2x > 0 \), ta suy ra \( 30 > 2x \), hay \( x < 15 \). Vậy, điều kiện để máng nước tồn tại là \( 0 < x < 15 \). Bước 3: Lập công thức tính thể tích của máng nước.

Máng nước có dạng hình hộp chữ nhật. Công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật là:
\[ V = \text{Chiều dài} \times \text{Chiều rộng} \times \text{Chiều cao} \]
Thay các giá trị đã tìm được vào công thức, ta có:
\[ V(x) = 300 \times (30 – 2x) \times x \]
\[ V(x) = 300 \times (30x – 2x^2) \]
\[ V(x) = -600x^2 + 9000x \]
Đây là một hàm số bậc hai có dạng \( f(x) = ax^2 + bx + c \) với \( a = -600 \), \( b = 9000 \), \( c = 0 \).

Bước 4: Tìm giá trị của x để thể tích V(x) đạt giá trị lớn nhất.

Vì hệ số \( a = -600 < 0 \), parabol biểu diễn hàm số \( V(x) \) có bề lõm quay xuống dưới, nghĩa là hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol. Hoành độ đỉnh của parabol được tính bằng công thức: \[ x = \frac{-b}{2a} \] Thay các giá trị \( a \) và \( b \) vào công thức, ta có: \[ x = \frac{-9000}{2 \times (-600)} \] \[ x = \frac{-9000}{-1200} \] \[ x = \frac{90}{12} \] \[ x = \frac{15}{2} \] \[ x = 7.5 \] Bước 5: Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Giá trị \( x = 7.5 \, \text{cm} \) thỏa mãn điều kiện \( 0 < x < 15 \) mà chúng ta đã xác định ở Bước 2. Vậy, chiều cao của máng nước phải là \( 7.5 \, \text{cm} \) thì thể tích của máng nước sẽ đạt giá trị lớn nhất. Nếu cần, chúng ta có thể tính thể tích lớn nhất này: \[ V(7.5) = -600(7.5)^2 + 9000(7.5) \] \[ V(7.5) = -600(56.25) + 67500 \] \[ V(7.5) = -33750 + 67500 \] \[ V(7.5) = 33750 \, \text{cm}^3 \] Kết luận:

Để thể tích của máng nước lớn nhất, chiều cao \( x \) của máng nước phải là \( \mathbf{7.5 \, \text{cm}} \).

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này và áp dụng được kiến thức về hàm số bậc hai để giải quyết các vấn đề thực tế nhé! Có thắc mắc gì, các em cứ hỏi thầy!