Chào các em! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau đi chứng minh một công thức rất quan trọng trong chuyển động thẳng biến đổi đều, đó là công thức liên hệ giữa vận tốc, gia tốc và quãng đường. Chúng ta sẽ xuất phát từ hai công thức mà các em đã học:

1. Công thức tính vận tốc theo thời gian:
v = v₀ + at
Trong đó:
v là vận tốc cuối.
v₀ là vận tốc đầu.
a là gia tốc.
t là thời gian.

2. Công thức tính quãng đường theo thời gian:
s = v₀t + \(\frac{1}{2}at^2\)
Trong đó:
s là quãng đường đi được.
v₀ là vận tốc đầu.
a là gia tốc.
t là thời gian.

Mục tiêu của chúng ta là làm sao để “triệt tiêu” biến thời gian (t) ra khỏi hai phương trình này để thu được một công thức chỉ còn lại vận tốc (v), vận tốc đầu (v₀), gia tốc (a) và quãng đường (s).

Bây giờ, chúng ta hãy bắt đầu từng bước nhé.

Bước 1: Biến đổi công thức thứ nhất để rút thời gian t.
Từ công thức: v = v₀ + at
Chúng ta muốn tìm t, vậy chúng ta sẽ chuyển v₀ sang vế bên trái:
v – v₀ = at
Bây giờ, để tìm t, chúng ta chia cả hai vế cho a (với điều kiện a khác 0, nếu a=0 thì đó là chuyển động thẳng đều rồi).
t = \(\frac{v – v₀}{a}\)
Đây là biểu thức của thời gian t theo các đại lượng vận tốc và gia tốc.

Bước 2: Thế biểu thức của t vừa tìm được vào công thức tính quãng đường s.
Chúng ta có công thức tính quãng đường: s = v₀t + \(\frac{1}{2}at^2\)
Bây giờ, chúng ta sẽ thay thế t bằng biểu thức mà chúng ta vừa tìm được ở Bước 1, đó là t = \(\frac{v – v₀}{a}\). Chúng ta cần cẩn thận với số hạng thứ hai \(\frac{1}{2}at^2\), vì nó có t bình phương, nên chúng ta phải bình phương cả biểu thức của t.

s = v₀ (\(\frac{v – v₀}{a}\)) + \(\frac{1}{2}a\) (\(\frac{v – v₀}{a}\))²

Bây giờ, chúng ta sẽ đi rút gọn biểu thức này.

Bước 3: Rút gọn biểu thức tính quãng đường.
Chúng ta hãy thực hiện phép nhân và bình phương trong từng số hạng.

Số hạng thứ nhất: v₀ * (\(\frac{v – v₀}{a}\)) = \(\frac{v₀(v – v₀)}{a}\) = \(\frac{v₀v – v₀^2}{a}\)

Số hạng thứ hai: \(\frac{1}{2}a\) * (\(\frac{v – v₀}{a}\))²
Chúng ta bình phương biểu thức trong ngoặc: (\(\frac{v – v₀}{a}\))² = \(\frac{(v – v₀)^2}{a^2}\)
Vậy số hạng thứ hai trở thành: \(\frac{1}{2}a\) * \(\frac{(v – v₀)^2}{a^2}\)
Chúng ta có thể rút gọn a ở tử số và a² ở mẫu số:
= \(\frac{1}{2}\) * \(\frac{(v – v₀)^2}{a}\)
Bây giờ, chúng ta khai triển (v – v₀)²: (v – v₀)² = v² – 2vv₀ + v₀²
Vậy số hạng thứ hai là: \(\frac{v^2 – 2vv₀ + v₀^2}{2a}\)

Bây giờ, chúng ta ghép hai số hạng lại để có biểu thức của s:
s = \(\frac{v₀v – v₀^2}{a}\) + \(\frac{v^2 – 2vv₀ + v₀^2}{2a}\)

Để cộng hai phân số này, chúng ta cần quy đồng mẫu số. Mẫu số chung là 2a. Chúng ta nhân tử và mẫu của phân số thứ nhất với 2:
s = \(\frac{2(v₀v – v₀^2)}{2a}\) + \(\frac{v^2 – 2vv₀ + v₀^2}{2a}\)
s = \(\frac{2v₀v – 2v₀^2 + v^2 – 2vv₀ + v₀^2}{2a}\)

Bây giờ, chúng ta thu gọn các số hạng ở tử số. Chú ý rằng 2v₀v và -2vv₀ là hai số hạng đối nhau, nên chúng triệt tiêu nhau.
s = \(\frac{- 2v₀^2 + v^2 + v₀^2}{2a}\)
s = \(\frac{v^2 – v₀^2}{2a}\)

Bước 4: Biến đổi biểu thức cuối cùng để có dạng mong muốn.
Chúng ta đã có: s = \(\frac{v^2 – v₀^2}{2a}\)
Bây giờ, chúng ta chỉ cần nhân chéo hai vế với 2a để đưa 2a lên vế bên trái:
s * (2a) = v² – v₀²
2as = v² – v₀²
Và thông thường, chúng ta viết theo thứ tự vận tốc cuối trước:
v² – v₀² = 2as

Vậy là chúng ta đã chứng minh thành công công thức v² – v₀² = 2as từ hai công thức ban đầu. Công thức này rất hữu ích vì nó cho phép chúng ta tính toán các đại lượng của chuyển động mà không cần biết đến thời gian.

Các em về nhà ôn tập kỹ các bước chứng minh này nhé. Có câu hỏi gì thì cứ hỏi thầy.