từ độ cao h=80m so với mặt đất một vật nhỏ được ném ngang với vận tốc đầu v0=20m…

Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán thú vị về chuyển động ném ngang. Đây là dạng bài khá cơ bản nhưng đòi hỏi sự hiểu rõ về phân tích véc tơ và các phương trình chuyển động. Nào, chúng ta cùng bắt đầu nhé!

PHÂN TÍCH BÀI TOÁN VÀ LỰA CHỌN PHƯƠNG PHÁP

Bài toán yêu cầu chúng ta tìm thời gian mà véc tơ vận tốc và véc tơ gia tốc hợp với nhau một góc $\alpha$ = 60 độ. Đối với chuyển động ném ngang, ta có thể phân tích thành hai chuyển động thành phần độc lập:

1. Chuyển động theo phương ngang (Ox): là chuyển động thẳng đều với vận tốc không đổi $v_0$. Lý do: không có lực nào tác dụng theo phương ngang (bỏ qua sức cản không khí).
2. Chuyển động theo phương thẳng đứng (Oy): là chuyển động rơi tự do với gia tốc trọng trường $g$. Lý do: vật chịu tác dụng của trọng lực P theo phương thẳng đứng.

Để xác định góc giữa hai véc tơ, phương pháp hiệu quả nhất và phù hợp với kiến thức lớp 10 là sử dụng công thức tính góc dựa trên tích vô hướng của hai véc tơ. Điều này đòi hỏi chúng ta phải xác định được các thành phần của véc tơ vận tốc và véc tơ gia tốc theo hệ trục tọa độ đã chọn.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ và xác định các đại lượng véc tơ

Chúng ta chọn hệ trục tọa độ như sau:

• Gốc tọa độ O tại vị trí ném.
• Trục Ox nằm ngang, cùng chiều với vận tốc ban đầu $\overrightarrow{v_0}$.
• Trục Oy thẳng đứng, hướng xuống.

Với hệ trục này, các véc tơ và thành phần của chúng tại thời điểm $t$ sẽ là:

1. Véc tơ gia tốc $\overrightarrow{a}$:

Vì bỏ qua sức cản không khí, vật chỉ chịu tác dụng của trọng lực, nên gia tốc của vật chính là gia tốc trọng trường $\overrightarrow{g}$. Theo cách chọn trục Oy hướng xuống, thành phần gia tốc là:

$$\overrightarrow{a}=(a_x;a_y)=(0;g)$$

2. Véc tơ vận tốc $\overrightarrow{v}$ tại thời điểm $t$:

Các thành phần vận tốc là:

• Theo phương Ox (chuyển động thẳng đều): $v_x=v_0$
• Theo phương Oy (rơi tự do, vận tốc ban đầu theo Oy là 0): $v_y=gt$

Vậy, véc tơ vận tốc có dạng:

$$\overrightarrow{v}=(v_x;v_y)=(v_0;gt)$$

Bước 2: Áp dụng công thức tính góc giữa hai véc tơ

Góc $\alpha$ giữa hai véc tơ $\overrightarrow{v}$ và $\overrightarrow{a}$ được xác định bởi công thức tích vô hướng:

$$\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{a}=\left|\overrightarrow{v}\right|\cdot \left|\overrightarrow{a}\right|\cdot \cos \alpha$$

Bây giờ, chúng ta sẽ tính các thành phần của công thức này:

• Tích vô hướng $\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{a}$:

$$\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{a}=v_x{a}_x+v_y{a}_y=v_0\cdot 0+gt\cdot g=g^{2}t$$

• Độ lớn của véc tơ vận tốc $\left|\overrightarrow{v}\right|$:

$$\left|\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{v_x^2+v_y^2=\sqrt{v_0^2+{\left(gt\right)}^2}}$$

• Độ lớn của véc tơ gia tốc $\left|\overrightarrow{a}\right|$:

$$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}=\sqrt{0^2+g^2}=g$$

Thay các biểu thức trên vào công thức tích vô hướng:

$$g^{2}t=\sqrt{v_0^2+{\left(gt\right)}^2}\cdot g\cdot \cos \alpha$$

Rút gọn $g$ (vì $g\ne 0$):

$$gt=\sqrt{v_0^2+{\left(gt\right)}^2}\cdot \cos \alpha$$

Bước 3: Giải phương trình tìm thời gian $t$

Theo đề bài, góc $\alpha$ = 60 độ. Do đó, $\cos \alpha =\cos 60°=\frac{1}{2}$.

Thay giá trị này vào phương trình:

$$gt=\sqrt{v_0^2+{\left(gt\right)}^2}\cdot \frac{1}{2}$$

Nhân 2 vào cả hai vế:

$$2gt=\sqrt{v_0^2+{\left(gt\right)}^2}$$

Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn thức:

$${\left(2gt\right)}^2=v_0^2+{\left(gt\right)}^2$$

$$4g^2{t}^2=v_0^2+g^2{t}^2$$

Chuyển các số hạng chứa $t$ sang một vế:

$$4g^2{t}^2–g^2{t}^2=v_0^2$$

$$3g^2{t}^2=v_0^2$$

Giải tìm $t^2$:

$$t^2=\frac{v_0^2}{3g^2}$$

Lấy căn bậc hai (chúng ta chỉ xét giá trị $t>0$ vì là thời gian):

$$t=\sqrt{\frac{v_0^2}{3g^2}}=\frac{v_0}{g\sqrt{3}}$$

Bước 4: Thay số và tính toán kết quả

Thay các giá trị đã cho vào công thức:

• $v_0=20\text{m/s}$
• $g=9.8\text{m/}{\text{s}}^2$

$$t=\frac{20}{9.8\cdot \sqrt{3}}$$

Tính giá trị gần đúng:

$$t\approx \frac{20}{9.8\cdot 1.732}\approx \frac{20}{16.9736}\approx 1.178\text{s}$$

Vậy, khoảng 1.178 giây sau khi ném, véc tơ vận tốc và véc tơ gia tốc của vật sẽ hợp với nhau một góc 60 độ.

Lưu ý: Độ cao $h=80\text{m}$ được cho trong bài toán nhưng không trực tiếp sử dụng để tính thời gian $t$ này. $h$ sẽ được dùng để xác định thời gian vật chạm đất. Chúng ta có thể kiểm tra nhanh rằng thời gian $t$ tìm được nhỏ hơn thời gian vật chạm đất ($t_{\text{chạm đất}}=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2\cdot 80}{9.8}}\approx 4.04\text{s}$), nên điều kiện này hoàn toàn có thể xảy ra trước khi vật chạm đất.

Thầy hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững hơn về cách phân tích và giải các bài toán chuyển động ném ngang liên quan đến góc giữa các véc tơ. Hãy luyện tập thêm để thành thạo dạng bài này nhé!