xin nguyên thức nguyên hàm ln(ax+b)

Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm nguyên hàm của một hàm số khá quen thuộc trong chương trình Toán lớp 12, đó là $\ln (\mathrm{ax}+b)$. Đây là một dạng bài điển hình, giúp chúng ta ôn lại và củng cố kiến thức về phương pháp tích phân từng phần.

Chúng ta cần tìm: $\int \ln (\mathrm{ax}+b)\mathrm{dx}$

Giải:

Để tìm nguyên hàm của hàm $\ln (\mathrm{ax}+b)$, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Lý do chúng ta chọn phương pháp này là vì hàm $\ln (\mathrm{ax}+b)$ không có nguyên hàm cơ bản trực tiếp và đạo hàm của nó sẽ trở thành một hàm hữu tỉ đơn giản hơn, phù hợp để tích phân.

Công thức tích phân từng phần là: $\int u\mathrm{dv}=uv–\int v\mathrm{du}$

Bước 1: Chọn $u$ và $\mathrm{dv}$

Chúng ta đặt:

$$\{\begin{array}{l}u=\ln (\mathrm{ax}+b)\\ \mathrm{dv}=\mathrm{dx}\end{array}$$

Bước 2: Tính $\mathrm{du}$ và $v$

Từ $u=\ln (\mathrm{ax}+b)$, ta tính đạo hàm để tìm $\mathrm{du}$ (sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp):

$$\mathrm{du}=\frac{d}{\mathrm{dx}}\left(\ln \right(\mathrm{ax}+b\left)\right)\mathrm{dx}=\frac{a}{\mathrm{ax}+b}\mathrm{dx}$$

Từ $\mathrm{dv}=\mathrm{dx}$, ta tính nguyên hàm để tìm $v$:

$$v=\int \mathrm{dv}=\int 1\mathrm{dx}=x$$

Bước 3: Áp dụng công thức tích phân từng phần

Thay các biểu thức đã tìm được vào công thức tích phân từng phần:

$$mo>\int \ln (\mathrm{ax}+b)\mathrm{dx}=x\ln (\mathrm{ax}+b)–\int x\frac{a}{\mathrm{ax}+b}\mathrm{dx}$$
$$=x\ln (\mathrm{ax}+b)–a\int \frac{x}{\mathrm{ax}+b}\mathrm{dx}$$

Chúng ta sẽ tính nguyên hàm $I=\int \frac{x}{\mathrm{ax}+b}\mathrm{dx}$ riêng để bài giải được rõ ràng hơn.

Bước 4: Tính nguyên hàm phụ $I=\int \frac{x}{\mathrm{ax}+b}\mathrm{dx}$

Để tính nguyên hàm này, chúng ta sẽ biến đổi biểu thức trong dấu tích phân bằng cách thêm bớt:

$$\frac{x}{\mathrm{ax}+b}=\frac{1}{a}\frac{\mathrm{ax}}{\mathrm{ax}+b}=\frac{1}{a}\mathrm{ax}+b–b\mathrm{ax}+b$$
$$=\frac{1}{a}(\mathrm{ax}+b\mathrm{ax}+b–b\mathrm{ax}+b)=\frac{1}{a}(1–b\mathrm{ax}+b)$$

Do đó:

$$I=\int \frac{1}{a}(1–\frac{b}{\mathrm{ax}+b})\mathrm{dx}=1a(\int 1\mathrm{dx}–b\int 1\mathrm{ax}+b\mathrm{dx})$$

Ta có $\int 1\mathrm{dx}=x$.

Đối với $\int \frac{1}{\mathrm{ax}+b}\mathrm{dx}$, chúng ta sử dụng phương pháp đổi biến số. Lý do là biểu thức trong mẫu số có dạng bậc nhất, và đạo hàm của nó là một hằng số, giúp đơn giản hóa phép tính.

Đặt $t=\mathrm{ax}+b$. Khi đó, $\mathrm{dt}=a\mathrm{dx}$, suy ra $\mathrm{dx}=\frac{1}{a}\mathrm{dt}$.

$$mo>\int 1\mathrm{ax}+b\mathrm{dx}=mo>\int 1t1a\mathrm{dt}=1amo>\int 1t\mathrm{dt}=1a\ln \left|t\right|$$

Thay $t=\mathrm{ax}+b$ trở lại, ta được:

$$mo>\int 1\mathrm{ax}+b\mathrm{dx}=1a\ln (\mathrm{ax}+b)$$

(Ở đây $\mathrm{ax}+b>0$ để hàm $\ln (\mathrm{ax}+b)$ xác định, nên ta không cần dùng dấu giá trị tuyệt đối).

Vậy, thay kết quả này vào biểu thức của $I$:

$$I=1amo>(x–b1a\ln (\mathrm{ax}+b)mo>)$$
$$I=xa–b{a}^2\ln (\mathrm{ax}+b)$$

Bước 5: Thay $I$ trở lại biểu thức chính và kết luận

Thay $I$ vào biểu thức ở Bước 3:

$$mo>\int \ln (\mathrm{ax}+b)\mathrm{dx}=x\ln (\mathrm{ax}+b)–a[xa–b{a}^2\ln (\mathrm{ax}+b\left)\right]+C$$
$$=x\ln (\mathrm{ax}+b)–x+ba\ln (\mathrm{ax}+b)+C$$

Nhóm các số hạng chứa $\ln (\mathrm{ax}+b)$ lại:

$$=(x+bamo>)\ln (\mathrm{ax}+b)–x+C$$

Hoặc viết gọn hơn:

$$=\mathrm{ax}+ba\ln (\mathrm{ax}+b)–x+C$$

Trong đó $C$ là hằng số tích phân.

Đây là một dạng bài rất hay gặp, giúp các em củng cố kỹ năng giải tích phân. Hãy luyện tập thêm các bài tương tự để nắm vững kiến thức nhé!