Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về một khái niệm rất quan trọng trong chương “Vector” của chương trình Toán lớp 10, đó là “Vector 0”.

1. Vector 0 là gì?

Trong toán học, vector 0 là một vector đặc biệt. Nó có đặc điểm là có độ dài bằng 0 và hướng không xác định.

Khi biểu diễn trên hệ trục tọa độ, vector 0 có tọa độ là (0; 0).

Các em có thể hình dung thế này: nếu vector là một mũi tên biểu diễn sự dịch chuyển, thì vector 0 giống như việc “không dịch chuyển gì cả”. Nó không đi đến đâu cả, nên độ dài của nó là 0.

2. Ví dụ về phép cộng, trừ mà ra kết quả là vector 0

Chúng ta sẽ xem xét các trường hợp cụ thể.

a) Phép cộng hai vector mà kết quả là vector 0

Để hai vector cộng lại mà ra vector 0, thì hai vector đó phải cùng độ dài và ngược hướng nhau.

Ví dụ:
Xét hai điểm A và B.
Vector AB biểu diễn sự dịch chuyển từ A đến B.
Vector BA biểu diễn sự dịch chuyển từ B đến A.

Rõ ràng, quãng đường đi từ A đến B là bằng quãng đường đi từ B đến A. Nghĩa là, độ dài của vector AB bằng độ dài của vector BA.
Mặt khác, hướng của vector AB là từ A sang B, còn hướng của vector BA là từ B sang A. Hai hướng này ngược nhau.

Do đó, ta có:
Vector AB + Vector BA = Vector 0

Hoặc, chúng ta có thể viết dưới dạng kí hiệu:
\( \vec{AB} + \vec{BA} = \vec{0} \)

Tại sao lại như vậy?
Nếu ta xét trên hệ trục tọa độ, giả sử A có tọa độ \( (x_A; y_A) \) và B có tọa độ \( (x_B; y_B) \).
Khi đó:
\( \vec{AB} = (x_B – x_A; y_B – y_A) \)
\( \vec{BA} = (x_A – x_B; y_A – y_B) \)

Ta nhận thấy rằng \( x_A – x_B = -(x_B – x_A) \) và \( y_A – y_B = -(y_B – y_A) \).
Do đó, \( \vec{BA} = -(x_B – x_A; y_B – y_A) = -\vec{AB} \).

Khi cộng lại:
\( \vec{AB} + \vec{BA} = \vec{AB} + (-\vec{AB}) \)
Vì một vector cộng với vector đối của nó luôn bằng vector 0.
\( \vec{AB} + (-\vec{AB}) = \vec{0} \)

Một ví dụ khác:
Giả sử ta có một vector \( \vec{u} \).
Nếu ta cộng \( \vec{u} \) với vector đối của nó, kí hiệu là \( -\vec{u} \), thì kết quả sẽ là vector 0.
\( \vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0} \)

b) Phép trừ hai vector mà kết quả là vector 0

Để hai vector trừ nhau mà ra vector 0, thì hai vector đó phải bằng nhau.

Ví dụ:
Xét hai vector \( \vec{u} \) và \( \vec{v} \).
Nếu \( \vec{u} \) và \( \vec{v} \) là hai vector hoàn toàn giống nhau về cả độ dài và hướng, thì khi ta lấy \( \vec{u} \) trừ đi \( \vec{v} \), kết quả sẽ là vector 0.

Dưới dạng kí hiệu:
Nếu \( \vec{u} = \vec{v} \), thì \( \vec{u} – \vec{v} = \vec{0} \)

Tại sao lại như vậy?
Phép trừ vector \( \vec{u} – \vec{v} \) được hiểu là \( \vec{u} + (-\vec{v}) \).
Nếu \( \vec{u} = \vec{v} \), thì \( -\vec{u} = -\vec{v} \).
Khi đó, \( \vec{u} – \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v}) \).
Vì \( \vec{v} = \vec{u} \), nên \( -\vec{v} = -\vec{u} \).
Vậy, \( \vec{u} – \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{u}) \).
Và như chúng ta đã biết, một vector cộng với vector đối của nó bằng vector 0.
\( \vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0} \)

Một ví dụ cụ thể hơn:
Cho điểm A và điểm B.
Vector AB và vector AB là hai vector hoàn toàn giống nhau.
Khi đó:
Vector AB – Vector AB = Vector 0
\( \vec{AB} – \vec{AB} = \vec{0} \)

Hoặc trên hệ trục tọa độ:
Nếu \( \vec{u} = (a; b) \), thì \( \vec{v} = (a; b) \).
\( \vec{u} – \vec{v} = (a – a; b – b) = (0; 0) \).
Và \( (0; 0) \) chính là tọa độ của vector 0.

Tóm lại, hôm nay chúng ta đã hiểu rõ về vector 0, đó là vector có độ dài bằng 0 và hướng không xác định. Chúng ta cũng đã xem xét các trường hợp phép cộng và phép trừ vector mà cho kết quả là vector 0. Các em về nhà ôn tập kỹ bài này nhé!