Chào các em học sinh thân mến! Cô/Thầy rất vui được đồng hành cùng các em trong tiết học hôm nay. Bài toán yêu cầu chúng ta biến đổi biểu thức (x+3)(x+4)(x+5)(x+6)+1 thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu. Đây là một dạng toán khá thú vị, đòi hỏi chúng ta phải khéo léo trong việc nhóm các thừa số và sử dụng hằng đẳng thức.

Chúng ta sẽ cùng nhau giải bài toán này theo từng bước thật chi tiết nhé!

Bước 1: Nhóm các thừa số một cách hợp lý.
Để dễ dàng biến đổi, chúng ta sẽ nhóm các thừa số sao cho tổng các hằng số trong ngoặc là bằng nhau.
Quan sát biểu thức (x+3)(x+4)(x+5)(x+6), ta thấy:
3 + 6 = 9
4 + 5 = 9
Như vậy, ta sẽ nhóm (x+3) với (x+6) và (x+4) với (x+5).
Biểu thức trở thành: [(x+3)(x+6)][(x+4)(x+5)] + 1

Bước 2: Nhân các nhóm thừa số đã được sắp xếp.
Thực hiện phép nhân trong từng nhóm:
Nhóm thứ nhất: (x+3)(x+6) = x.x + x.6 + 3.x + 3.6 = x² + 6x + 3x + 18 = x² + 9x + 18
Nhóm thứ hai: (x+4)(x+5) = x.x + x.5 + 4.x + 4.5 = x² + 5x + 4x + 20 = x² + 9x + 20
Vậy, biểu thức ban đầu giờ là: (x² + 9x + 18)(x² + 9x + 20) + 1

Bước 3: Đặt ẩn phụ để đưa về dạng đơn giản hơn.
Chúng ta nhận thấy rằng trong hai nhân tử vừa tìm được, có phần giống nhau là x² + 9x. Để việc biến đổi tiếp theo được thuận tiện, chúng ta sẽ đặt một ẩn phụ.
Đặt y = x² + 9x.
Khi đó, biểu thức trở thành: (y + 18)(y + 20) + 1

Bước 4: Khai triển và rút gọn biểu thức với ẩn phụ.
Thực hiện phép nhân:
(y + 18)(y + 20) = y.y + y.20 + 18.y + 18.20 = y² + 20y + 18y + 360 = y² + 38y + 360
Vậy, biểu thức là: y² + 38y + 360 + 1 = y² + 38y + 361

Bước 5: Biến đổi biểu thức về dạng bình phương của một tổng.
Chúng ta cần nhận ra rằng biểu thức y² + 38y + 361 có dạng của một hằng đẳng thức.
Nhớ lại hằng đẳng thức: (a + b)² = a² + 2ab + b²
Trong biểu thức của chúng ta:
a² chính là y², vậy a = y.
b² là 361. Ta cần tìm xem 361 có phải là bình phương của một số nào không. Ta thử tính: 10² = 100, 20² = 400. Số đó chắc chắn nhỏ hơn 20. Thử 19² = 19 x 19 = 361. Vậy b = 19.
Bây giờ, ta kiểm tra phần giữa: 2ab = 2 y 19 = 38y. Điều này hoàn toàn khớp với biểu thức của chúng ta.
Do đó, y² + 38y + 361 có thể viết lại thành (y + 19)².

Bước 6: Thay ẩn phụ trở lại và rút gọn.
Bây giờ, chúng ta thay y = x² + 9x trở lại vào biểu thức (y + 19)².
Biểu thức trở thành: (x² + 9x + 19)².

Vậy, chúng ta đã biến đổi thành công biểu thức (x+3)(x+4)(x+5)(x+6)+1 thành bình phương của một tổng là (x² + 9x + 19)².

Lý do chúng ta áp dụng các bước trên:
– Nhóm các thừa số hợp lý: Giúp tạo ra các nhân tử có phần chung, làm cho việc đặt ẩn phụ trở nên hiệu quả.
– Đặt ẩn phụ: Đơn giản hóa biểu thức ban đầu, giúp chúng ta dễ dàng nhận ra cấu trúc của hằng đẳng thức.
– Sử dụng hằng đẳng thức: Là công cụ mạnh mẽ để biến đổi các biểu thức đa thức về dạng bình phương một cách nhanh chóng.

Chúc mừng các em đã hoàn thành bài tập này! Đây là một ví dụ điển hình cho thấy sự kỳ diệu của đại số và các hằng đẳng thức trong việc giải quyết các bài toán tưởng chừng phức tạp.