(X-2)(X+2)(X²-10)=72
Bài toán yêu cầu chúng ta giải phương trình:
(X-2)(X+2)(X²-10)=72
Đầu tiên, cô muốn các em quan sát kỹ hai thừa số đầu tiên của phương trình: (X-2) và (X+2). Các em có nhận ra dạng đặc biệt nào không nhỉ? À đúng rồi, đó là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\).
Áp dụng hằng đẳng thức này, ta có:
(X-2)(X+2) = X² – 2² = X² – 4
Bây giờ, cô trò mình thay kết quả này vào phương trình ban đầu:
(X² – 4)(X² – 10) = 72
Thấy phương trình đã gọn gàng hơn nhiều rồi đúng không nào? Bây giờ, chúng ta hãy tiếp tục biến đổi. Để làm cho bài toán trở nên đơn giản hơn nữa, cô đề xuất chúng ta đặt một ẩn phụ. Các em thấy ở cả hai ngoặc đơn, chúng ta đều có X². Vậy cô sẽ đặt:
Đặt t = X² (với điều kiện t ≥ 0, vì X² luôn không âm).
Khi đó, phương trình của chúng ta trở thành:
(t – 4)(t – 10) = 72
Bây giờ, chúng ta sẽ khai triển biểu thức này ra:
t * t – 10*t – 4*t + 4*10 = 72
t² – 10t – 4t + 40 = 72
t² – 14t + 40 = 72
Tiếp theo, chúng ta chuyển số 72 sang vế trái để đưa về dạng phương trình bậc hai quen thuộc:
t² – 14t + 40 – 72 = 0
t² – 14t – 32 = 0
Đây là một phương trình bậc hai ẩn t. Chúng ta có thể giải phương trình này bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử hoặc dùng công thức nghiệm (nhưng để không vượt lớp, chúng ta sẽ ưu tiên phân tích nhân tử nếu có thể).
Hãy thử phân tích đa thức t² – 14t – 32 thành nhân tử. Chúng ta cần tìm hai số sao cho tổng của chúng bằng -14 và tích của chúng bằng -32. Các cặp ước của -32 là: (1, -32), (-1, 32), (2, -16), (-2, 16), (4, -8), (-4, 8).
Ta thấy cặp số 2 và -16 có tổng là 2 + (-16) = -14. Vậy ta sẽ tách hạng tử -14t thành 2t – 16t.
t² + 2t – 16t – 32 = 0
Bây giờ, chúng ta nhóm hạng tử:
(t² + 2t) + (-16t – 32) = 0
t(t + 2) – 16(t + 2) = 0
Nhân tử chung là (t + 2):
(t + 2)(t – 16) = 0
Để tích của hai thừa số bằng 0, thì ít nhất một trong hai thừa số phải bằng 0. Do đó, ta có hai trường hợp:
Trường hợp 1:
t + 2 = 0
t = -2
Trường hợp 2:
t – 16 = 0
t = 16
Bây giờ, chúng ta cần quay trở lại với ẩn X ban đầu. Nhớ lại chúng ta đã đặt t = X².
Với t = -2:
X² = -2
Vì bình phương của một số thực luôn không âm, nên phương trình X² = -2 vô nghiệm trong tập số thực.
Với t = 16:
X² = 16
Để tìm X, chúng ta lấy căn bậc hai của 16.
X = ±√16
X = ±4
Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm là X = 4 và X = -4.
Các em thấy đó, bằng cách sử dụng hằng đẳng thức và đặt ẩn phụ, chúng ta đã biến một phương trình bậc bốn trông có vẻ phức tạp thành những phương trình quen thuộc hơn.
Để củng cố, các em hãy thử kiểm tra lại nghiệm bằng cách thay X=4 và X=-4 vào phương trình ban đầu xem có đúng bằng 72 không nhé.
Chúc các em học tốt!
\((x-2)(x+2)(x^2-10)=72\)
\(<=>(x^2-4)(x^2-10)=72\)
\(<=>x^4-14x^2+40=72\)
\(<=>x^4-14x^2-32=0\)
\(<=>x^4+2x^2-16x^2-32=0\)
\(<=>x^2(x^2+2)-16(x^2+2)=0\)
\(<=>(x^2-16)(x^2+2)=0\)
\(<=>x^2-16=0\) (do \(x^2+2>=2>0AAx\))
\(<=>x^2=16\)
\(<=>x=+-4\)
Vậy \(S={4;-4}\)
Đáp án + Giải thích các bước giải:
\((x-2)(x+2)(x²-10)=72\)
\(<=>(x^2-4)(x^2-10)=72\)
\(<=>x^4-4x^2-10x^2+40-72=0\)
\(<=>x^4-14x^2-32=0\)
Đặt \(t=x^2\) \((t>=0)\),ta được phương trình:
\(t^2-14t-32=0\)
\(<=>t^2-16t+2t-32=0\)
\(<=>t(t-16)+2(t-16)=0\)
\(<=>(t+2)(t-16)=0\)
\(<=>\)\(\left[ \begin{array}{l}t+2=0\\t-16=0\end{array} \right.\)
\(<=>\)\(\left[ \begin{array}{l}t=0-2=-2 \text{ (Không thỏa mãn điều kiện)}\\t=0+16=16 \text{ (Thỏa mãn điều kiện)}\end{array} \right.\)
Với \(t=16\) thì \(x^2=16\) \(<=>\)\(\left[ \begin{array}{l}x=4\\x=-4\end{array} \right.\)
Vậy \(S={4;-4}\)