Xin chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, cô và các em sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thú vị về tỉ lệ thức và đại lượng tỉ lệ nghịch. Bài toán của chúng ta có nội dung như sau: Cho \( \frac{x}{2} = \frac{y}{4} \) và \( x^2 y^2 = 4 \). Tìm giá trị của \( x \) và \( y \).

Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích bài toán và giải từng bước một nhé.

Bước 1: Phân tích đề bài và nhận dạng kiến thức liên quan

Đề bài cho chúng ta hai điều kiện:
1. \( \frac{x}{2} = \frac{y}{4} \): Đây là một tỉ lệ thức. Từ tỉ lệ thức này, chúng ta có thể biểu diễn mối quan hệ giữa \( x \) và \( y \) thông qua một đại lượng trung gian hoặc suy ra \( y \) theo \( x \) (hoặc ngược lại).
2. \( x^2 y^2 = 4 \): Đây là một phương trình liên quan đến bình phương của \( x \) và \( y \).

Kiến thức chúng ta sẽ sử dụng là:
* Tính chất của tỉ lệ thức.
* Biến đổi đại số cơ bản.
* Khái niệm về căn bậc hai.

Bước 2: Rút gọn mối quan hệ giữa \( x \) và \( y \) từ tỉ lệ thức

Từ tỉ lệ thức \( \frac{x}{2} = \frac{y}{4} \), chúng ta có thể nhân chéo hai vế hoặc quy đồng mẫu số. Tuy nhiên, cách đơn giản nhất là sử dụng tính chất của tỉ lệ thức: nếu \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) thì ta có thể viết \( a = k \cdot b \) và \( c = k \cdot d \) với \( k \) là một hằng số tỉ lệ.

Áp dụng vào bài toán:
Đặt \( \frac{x}{2} = \frac{y}{4} = k \) (với \( k \) là một hằng số).
Từ đó, ta suy ra:
\( x = 2k \) (1)
\( y = 4k \) (2)

Bây giờ, chúng ta đã biểu diễn được \( x \) và \( y \) qua một hằng số \( k \).

Bước 3: Thay thế mối quan hệ vào phương trình thứ hai

Đề bài cho phương trình \( x^2 y^2 = 4 \).
Chúng ta sẽ thay \( x = 2k \) và \( y = 4k \) vào phương trình này.

Ta có:
\( (2k)^2 \cdot (4k)^2 = 4 \)

Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện phép bình phương:
\( (2k)^2 = 2^2 \cdot k^2 = 4k^2 \)
\( (4k)^2 = 4^2 \cdot k^2 = 16k^2 \)

Thay thế trở lại phương trình:
\( (4k^2) \cdot (16k^2) = 4 \)

Nhân các hệ số lại với nhau:
\( 4 \cdot 16 \cdot k^2 \cdot k^2 = 4 \)
\( 64 \cdot k^4 = 4 \)

Bước 4: Giải phương trình tìm \( k \)

Chúng ta có phương trình \( 64k^4 = 4 \).
Để tìm \( k^4 \), chúng ta chia cả hai vế cho 64:
\( k^4 = \frac{4}{64} \)

Rút gọn phân số:
\( k^4 = \frac{1}{16} \)

Bây giờ, chúng ta cần tìm \( k \). Ta thấy \( k^4 \) là một lũy thừa bậc 4. Chúng ta cần tìm số nào mũ 4 lên bằng \( \frac{1}{16} \).

Ta biết rằng:
\( (\frac{1}{2})^4 = \frac{1^4}{2^4} = \frac{1}{16} \)
\( (-\frac{1}{2})^4 = (-1)^4 \cdot (\frac{1}{2})^4 = 1 \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{16} \)

Vậy, có hai giá trị có thể của \( k \):
\( k = \frac{1}{2} \) hoặc \( k = -\frac{1}{2} \)

Bước 5: Tìm giá trị của \( x \) và \( y \) tương ứng với mỗi giá trị của \( k \)

Trường hợp 1: \( k = \frac{1}{2} \)
Sử dụng các biểu thức \( x = 2k \) và \( y = 4k \):
\( x = 2 \cdot (\frac{1}{2}) = 1 \)
\( y = 4 \cdot (\frac{1}{2}) = 2 \)

Kiểm tra lại với phương trình \( x^2 y^2 = 4 \):
\( x^2 y^2 = 1^2 \cdot 2^2 = 1 \cdot 4 = 4 \). Thỏa mãn.
Kiểm tra lại với tỉ lệ thức \( \frac{x}{2} = \frac{y}{4} \):
\( \frac{1}{2} = \frac{2}{4} \). Thỏa mãn.

Trường hợp 2: \( k = -\frac{1}{2} \)
Sử dụng các biểu thức \( x = 2k \) và \( y = 4k \):
\( x = 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -1 \)
\( y = 4 \cdot (-\frac{1}{2}) = -2 \)

Kiểm tra lại với phương trình \( x^2 y^2 = 4 \):
\( x^2 y^2 = (-1)^2 \cdot (-2)^2 = 1 \cdot 4 = 4 \). Thỏa mãn.
Kiểm tra lại với tỉ lệ thức \( \frac{x}{2} = \frac{y}{4} \):
\( \frac{-1}{2} = \frac{-2}{4} \). Thỏa mãn.

Bước 6: Kết luận

Vậy, bài toán có hai cặp giá trị thỏa mãn là:
* \( x = 1 \) và \( y = 2 \)
* \( x = -1 \) và \( y = -2 \)

Các em thấy đó, với kiến thức về tỉ lệ thức và biến đổi đại số, chúng ta đã giải quyết được bài toán này một cách logic và chi tiết. Hy vọng qua bài giảng này, các em đã hiểu rõ hơn cách làm. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!