Chào các em học sinh thân mến! Cô là giáo viên Toán lớp 8 của chúng ta đây. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài tập rất hay liên quan đến việc áp dụng các hằng đẳng thức và kỹ năng giải phương trình. Bài tập của chúng ta là:

(x-5).(x+5) – 15x+75=0

Đầu tiên, các em hãy quan sát đề bài. Chúng ta thấy có một tích của hai biểu thức dạng (a-b)(a+b) và các hạng tử còn lại. Chúng ta sẽ bắt đầu bằng việc khai triển biểu thức đầu tiên.

Bước 1: Khai triển biểu thức (x-5).(x+5)

Chúng ta nhận thấy đây là dạng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương. Công thức của nó là:
\( (a-b)(a+b) = a^2 – b^2 \)

Áp dụng vào bài toán với \( a=x \) và \( b=5 \), ta có:
\( (x-5)(x+5) = x^2 – 5^2 \)
\( x^2 – 5^2 = x^2 – 25 \)

Vậy, biểu thức ban đầu trở thành:
\( x^2 – 25 – 15x + 75 = 0 \)

Bước 2: Rút gọn phương trình

Bây giờ, chúng ta sẽ nhóm các hạng tử giống nhau lại để làm gọn phương trình. Chúng ta sẽ nhóm các hạng tử chứa \( x^2 \), các hạng tử chứa \( x \), và các hạng tử tự do.

Phương trình của chúng ta là:
\( x^2 – 15x – 25 + 75 = 0 \)

Thực hiện phép cộng trừ các số tự do: \( -25 + 75 = 50 \).
Phương trình sau khi rút gọn là:
\( x^2 – 15x + 50 = 0 \)

Bước 3: Tìm cách phân tích hoặc giải phương trình bậc hai

Đây là một phương trình bậc hai dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \). Có nhiều cách để giải phương trình này, ví dụ như sử dụng công thức nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử. Với các kiến thức đã học ở lớp 8, chúng ta sẽ cố gắng phân tích đa thức thành nhân tử.

Chúng ta cần tìm hai số mà tổng của chúng bằng -15 (hệ số của x) và tích của chúng bằng 50 (hệ số tự do).
Chúng ta có thể liệt kê các cặp nhân tử của 50:
1 và 50
2 và 25
5 và 10
(-1) và (-50)
(-2) và (-25)
(-5) và (-10)

Bây giờ, ta xét tổng của các cặp nhân tử này:
1 + 50 = 51
2 + 25 = 27
5 + 10 = 15
(-1) + (-50) = -51
(-2) + (-25) = -27
(-5) + (-10) = -15

Chúng ta tìm thấy cặp số thỏa mãn yêu cầu là -5 và -10.
Vậy, ta có thể viết lại hạng tử \( -15x \) thành \( -5x – 10x \).

Phương trình trở thành:
\( x^2 – 5x – 10x + 50 = 0 \)

Bước 4: Nhóm hạng tử để phân tích thành nhân tử

Bây giờ, chúng ta nhóm hai hạng tử đầu và hai hạng tử sau lại:
\( (x^2 – 5x) + (-10x + 50) = 0 \)

Trong nhóm thứ nhất, ta đặt nhân tử chung \( x \) ra ngoài:
\( x(x – 5) \)

Trong nhóm thứ hai, ta đặt nhân tử chung là \( -10 \) ra ngoài. Lưu ý khi đặt nhân tử chung âm, dấu của các hạng tử bên trong sẽ thay đổi:
\( -10(x – 5) \)

Vậy, phương trình trở thành:
\( x(x – 5) – 10(x – 5) = 0 \)

Bước 5: Đặt nhân tử chung (x-5)

Ta thấy biểu thức \( (x-5) \) xuất hiện ở cả hai vế. Ta đặt \( (x-5) \) làm nhân tử chung:
\( (x – 5)(x – 10) = 0 \)

Bước 6: Tìm nghiệm của phương trình

Một tích bằng không khi và chỉ khi ít nhất một trong các thừa số bằng không. Do đó, chúng ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1:
\( x – 5 = 0 \)
Chuyển -5 sang vế phải, ta được:
\( x = 5 \)

Trường hợp 2:
\( x – 10 = 0 \)
Chuyển -10 sang vế phải, ta được:
\( x = 10 \)

Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm là \( x = 5 \) và \( x = 10 \).

Các em thấy không, chỉ cần nắm vững các hằng đẳng thức và kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử, chúng ta có thể giải quyết bài toán một cách dễ dàng. Các em hãy luyện tập thêm các dạng bài tương tự để thật thành thạo nhé!