Chào các em! Hôm nay, cô trò chúng ta sẽ cùng nhau đi giải một bài tập phân tích đa thức thành nhân tử rất thú vị, đó là:
(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3

Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích từng bước một, dựa trên những kiến thức đã học ở chương trình Toán lớp 8.

Bước 1: Đặt ẩn phụ để bài toán trở nên gọn gàng hơn.

Chúng ta thấy có các biểu thức dạng hiệu lập phương như (x-y)^3, (y-z)^3, (z-x)^3. Để dễ nhìn, chúng ta sẽ đặt:
Đặt a = x – y
Đặt b = y – z
Đặt c = z – x

Khi đó, biểu thức của chúng ta sẽ trở thành: a^3 + b^3 + c^3.

Bước 2: Tìm mối liên hệ giữa các ẩn a, b, c.

Bây giờ, chúng ta hãy thử cộng ba biểu thức a, b, c lại xem có điều gì đặc biệt xảy ra không nhé:
a + b + c = (x – y) + (y – z) + (z – x)
a + b + c = x – y + y – z + z – x
a + b + c = (x – x) + (-y + y) + (-z + z)
a + b + c = 0 + 0 + 0
a + b + c = 0

Như vậy, chúng ta có một kết quả rất quan trọng: a + b + c = 0.
Từ đó, ta suy ra: a + b = -c.

Bước 3: Sử dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương.

Chúng ta đã biết hằng đẳng thức:
\[ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 – ab + b^2) \]

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng hằng đẳng thức này cho hai số hạng đầu tiên trong biểu thức a^3 + b^3 + c^3:
a^3 + b^3 + c^3 = (a^3 + b^3) + c^3
Thay a^3 + b^3 bằng công thức hằng đẳng thức:
a^3 + b^3 + c^3 = (a+b)(a^2 – ab + b^2) + c^3

Bước 4: Thay thế (a+b) bằng -c và biến đổi.

Từ Bước 2, chúng ta có a + b = -c. Bây giờ chúng ta sẽ thay thế vào biểu thức vừa có:
a^3 + b^3 + c^3 = (-c)(a^2 – ab + b^2) + c^3
a^3 + b^3 + c^3 = -c(a^2 – ab + b^2) + c^3

Chúng ta có thể rút c^3 ra làm nhân tử chung hoặc có thể phân phối -c vào trước rồi rút c sau. Cô sẽ rút c^3 ra để các em dễ nhìn hơn.
a^3 + b^3 + c^3 = c^3 – c(a^2 – ab + b^2)

Bây giờ, chúng ta thấy có nhân tử chung là c. Chúng ta sẽ đặt c ra ngoài dấu ngoặc:
a^3 + b^3 + c^3 = c [ c^2 – (a^2 – ab + b^2) ]
a^3 + b^3 + c^3 = c [ c^2 – a^2 + ab – b^2 ]

Bước 5: Thay c = -(a+b) và tiếp tục biến đổi.

Chúng ta biết c = -(a+b). Chúng ta sẽ thay thế c trong biểu thức ngoặc vuông:
a^3 + b^3 + c^3 = c [ (-(a+b))^2 – a^2 + ab – b^2 ]
a^3 + b^3 + c^3 = c [ (a+b)^2 – a^2 + ab – b^2 ]

Bây giờ, chúng ta khai triển (a+b)^2:
a^3 + b^3 + c^3 = c [ (a^2 + 2ab + b^2) – a^2 + ab – b^2 ]

Thu gọn các hạng tử trong ngoặc vuông:
a^3 + b^3 + c^3 = c [ a^2 + 2ab + b^2 – a^2 + ab – b^2 ]
a^3 + b^3 + c^3 = c [ (a^2 – a^2) + (b^2 – b^2) + (2ab + ab) ]
a^3 + b^3 + c^3 = c [ 3ab ]
a^3 + b^3 + c^3 = 3abc

Wow! Chúng ta vừa chứng minh được một kết quả rất đẹp: Nếu tổng của ba số bằng 0 thì tổng lập phương của ba số đó bằng 3 lần tích của ba số đó.

Bước 6: Thay a, b, c trở lại bằng các biểu thức ban đầu.

Bây giờ, chúng ta sẽ thay a = x – y, b = y – z, c = z – x vào kết quả 3abc:
(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3 = 3(x-y)(y-z)(z-x)

Vậy là chúng ta đã phân tích xong đa thức đã cho thành nhân tử.

Kết luận:

Với các đặt ẩn phụ a = x – y, b = y – z, c = z – x, ta có a + b + c = 0.
Khi đó, ta chứng minh được rằng a^3 + b^3 + c^3 = 3abc.
Thay ngược lại, ta có:
(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3 = 3(x-y)(y-z)(z-x)

Các em về nhà ôn lại các bước này và cố gắng luyện tập thêm các bài tập tương tự nhé!