Chào các em, thầy sẽ hướng dẫn các em giải bài tập này một cách chi tiết dựa trên hệ thức Vi-ét nhé. Đây là một dạng bài tập rất cơ bản và quan trọng, các em cần nắm vững để xử lý các bài toán phức tạp hơn.

Theo định lý Vi-ét, ta có tổng và tích hai nghiệm được cho là:
Tổng hai nghiệm: \( S = x_1 + x_2 = \frac{5}{2} \)
Tích hai nghiệm: \( P = x_1 x_2 = \frac{3}{2} \)

Ta cần tính giá trị của biểu thức: \( A = (x_1 + 3x_2)(x_2 + 3x_1) \)

Bước 1: Nhân đa thức để khai triển biểu thức A.

Ta tiến hành nhân lần lượt các hạng tử:

\( A = x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot 3x_1 + 3x_2 \cdot x_2 + 3x_2 \cdot 3x_1 \)

\( A = x_1x_2 + 3x_1^2 + 3x_2^2 + 9x_1x_2 \)

Bước 2: Nhóm các hạng tử đồng dạng và biến đổi để xuất hiện tổng \( (x_1+x_2) \) và tích \( (x_1 x_2) \).

Gom các hạng tử lại, ta được:

\( A = (x_1x_2 + 9x_1x_2) + (3x_1^2 + 3x_2^2) \)

\( A = 10x_1x_2 + 3(x_1^2 + x_2^2) \)

Lúc này, biểu thức của chúng ta đã có hạng tử \( 10x_1x_2 = 10P \). Ta cần biến đổi hạng tử \( (x_1^2 + x_2^2) \) theo S và P. Đây là một biến đổi rất quen thuộc trong các bài toán Vi-ét.

Ta có hằng đẳng thức: \( (x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 \)

Từ đó suy ra:

\( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 – 2x_1x_2 \)

Hay nói cách khác:

\( x_1^2 + x_2^2 = S^2 – 2P \)

Bước 3: Thay \( (x_1^2 + x_2^2) = S^2 – 2P \) vào biểu thức A.

\( A = 10P + 3(S^2 – 2P) \)

\( A = 10P + 3S^2 – 6P \)

\( A = 3S^2 + 4P \)

Bước 4: Thay các giá trị \( S = \frac{5}{2} \) và \( P = \frac{3}{2} \) vào biểu thức A vừa rút gọn.

\( A = 3 \left( \frac{5}{2} \right)^2 + 4 \left( \frac{3}{2} \right) \)

\( A = 3 \cdot \frac{25}{4} + \frac{12}{2} \)

\( A = \frac{75}{4} + 6 \)

Quy đồng mẫu số để thực hiện phép cộng:

\( A = \frac{75}{4} + \frac{24}{4} \)

\( A = \frac{75 + 24}{4} \)

\( A = \frac{99}{4} \)

Kết luận:

Vậy, giá trị của biểu thức \( (x_1 + 3x_2)(x_2 + 3x_1) \) là \( \frac{99}{4} \).

Các em hãy xem lại từng bước giải, đặc biệt là bước biến đổi biểu thức \( x_1^2 + x_2^2 \) theo S và P. Chúc các em học tốt