Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải bài tập bất phương trình bậc hai này. Cô giáo sẽ trình bày thật chi tiết từng bước để các em dễ theo dõi nhé.

Bài tập yêu cầu chúng ta giải bất phương trình:
\(x^2 – 9 \ge 0\)

Bước 1: Chuyển bất phương trình về dạng quen thuộc

Chúng ta thấy rằng \(x^2 – 9\) có dạng của một hằng đẳng thức. Cụ thể, nó giống với hiệu hai bình phương: \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\).
Ở đây, \(a = x\) và \(b = 3\), vì \(3^2 = 9\).

Áp dụng hằng đẳng thức này, ta có:
\(x^2 – 9 = (x – 3)(x + 3)\)

Vậy, bất phương trình ban đầu trở thành:
\((x – 3)(x + 3) \ge 0\)

Bước 2: Tìm nghiệm của phương trình tương ứng

Để giải bất phương trình dạng \((x – a)(x – b) \ge 0\) hoặc \((x – a)(x – b) \le 0\), chúng ta thường xét dấu của từng nhân tử. Đầu tiên, ta tìm nghiệm của phương trình:
\((x – 3)(x + 3) = 0\)

Để tích của hai số bằng 0 thì ít nhất một trong hai số đó phải bằng 0. Do đó, ta có hai trường hợp:
Trường hợp 1: \(x – 3 = 0\)
Suy ra: \(x = 3\)

Trường hợp 2: \(x + 3 = 0\)
Suy ra: \(x = -3\)

Hai nghiệm này chia trục số thành ba khoảng: \((-\infty, -3)\), \([-3, 3]\) và \((3, +\infty)\).

Bước 3: Xét dấu của các nhân tử và của tích

Chúng ta sẽ lập một bảng xét dấu để xác định dấu của \((x – 3)\), \((x + 3)\) và tích của chúng \((x – 3)(x + 3)\) trên từng khoảng.

Chúng ta chọn một giá trị đại diện trong mỗi khoảng để thử:

* Khoảng 1: \(x < -3\)
Chọn \(x = -4\).
Khi đó, \(x – 3 = -4 – 3 = -7\) (âm).
Và \(x + 3 = -4 + 3 = -1\) (âm).
Tích \((x – 3)(x + 3) = (-7) \times (-1) = 7\) (dương).

* Khoảng 2: \(-3 < x < 3\)
Chọn \(x = 0\).
Khi đó, \(x – 3 = 0 – 3 = -3\) (âm).
Và \(x + 3 = 0 + 3 = 3\) (dương).
Tích \((x – 3)(x + 3) = (-3) \times 3 = -9\) (âm).

* Khoảng 3: \(x > 3\)
Chọn \(x = 4\).
Khi đó, \(x – 3 = 4 – 3 = 1\) (dương).
Và \(x + 3 = 4 + 3 = 7\) (dương).
Tích \((x – 3)(x + 3) = 1 \times 7 = 7\) (dương).

Ngoài ra, tại các điểm \(x = -3\) và \(x = 3\), tích bằng 0.

Bảng xét dấu có thể trình bày như sau:

+—————–+——-+——-+——-+

| Nhân tử/Khoảng | \(x < -3\) | \(x = -3\) | \(-3 < x < 3\) | \(x = 3\) | \(x > 3\) |

+—————–+——-+——-+——-+

| \(x – 3\) | – | – | – | 0 | + |

+—————–+——-+——-+——-+

| \(x + 3\) | – | 0 | + | + | + |

+—————–+——-+——-+——-+

| \((x – 3)(x + 3)\) | + | 0 | – | 0 | + |

+—————–+——-+——-+——-+

Bước 4: Kết luận tập nghiệm

Chúng ta cần tìm những giá trị của \(x\) sao cho \((x – 3)(x + 3) \ge 0\). Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy tích này dương hoặc bằng 0 khi:
* \(x \le -3\) (bao gồm cả \(x = -3\))
* \(x \ge 3\) (bao gồm cả \(x = 3\))

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là:
\(x \in (-\infty, -3] \cup [3, +\infty)\)

Hoặc viết dưới dạng ký hiệu tập hợp:
\(\{x \mid x \le -3 \text{ hoặc } x \ge 3\}\)

Cô giáo hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài tập này. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, các em cứ mạnh dạn hỏi nhé!