Kính chào các em học sinh thân mến!
Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải đáp một bài toán liên quan đến bất đẳng thức bậc hai, một dạng bài rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 9. Các em hãy chú ý theo dõi từng bước thầy hướng dẫn nhé!

Để xác định bất đẳng thức \(x^2-x+1>0\) là đúng hay sai (tức là nó có luôn đúng với mọi giá trị của x hay không), chúng ta sẽ có hai phương pháp tiếp cận chính mà các em đã được học:

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Xác định dạng của biểu thức.

Biểu thức vế trái là \(x^2-x+1\). Đây là một tam thức bậc hai có dạng \(ax^2+bx+c\).

• Hệ số \(a = 1\)
• Hệ số \(b = -1\)
• Hệ số \(c = 1\)

Giải thích: Việc xác định các hệ số \(a, b, c\) là bước đầu tiên và rất quan trọng để chúng ta có thể áp dụng các công thức và phương pháp giải quyết tam thức bậc hai.

Phương pháp 1: Sử dụng phương pháp “Hoàn thành bình phương” (biến đổi về dạng bình phương của một biểu thức).

Bước 2: Biến đổi biểu thức về dạng bình phương.

Chúng ta sẽ biến đổi tam thức \(x^2-x+1\) về dạng \((x-A)^2+B\) hoặc \((x+A)^2+B\).

\[ x^2-x+1 = x^2 – 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 – \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1 \]

Giải thích: Để tạo thành một hằng đẳng thức dạng \((A-B)^2 = A^2-2AB+B^2\), chúng ta cần thêm và bớt cùng một lượng \(\left(\frac{1}{2}\right)^2\) vào biểu thức.

\[ = \left(x^2 – 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2\right) – \frac{1}{4} + 1 \]
\[ = \left(x-\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} \]

Bước 3: Đánh giá giá trị của biểu thức đã biến đổi.

Chúng ta có \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}\).

• Vì bình phương của một số thực luôn không âm, nên \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 \ge 0\) với mọi giá trị của \(x \in \mathbb{R}\).
• Do đó, \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} \ge 0 + \frac{3}{4} = \frac{3}{4}\).

Giải thích: Phần \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\) luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 0. Khi cộng thêm một số dương là \(\frac{3}{4}\), thì kết quả tổng sẽ luôn luôn lớn hơn \(\frac{3}{4}\).

Bước 4: Kết luận cho phương pháp 1.

Vì \(\frac{3}{4} > 0\), nên \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} > 0\) với mọi giá trị của \(x \in \mathbb{R}\).

Vậy, bất đẳng thức \(x^2-x+1>0\) luôn đúng với mọi \(x\) thuộc tập số thực.

Phương pháp 2: Sử dụng Biệt thức Delta (\(\Delta\)) và dấu của hệ số \(a\).

Bước 2: Tính biệt thức \(\Delta\).

Đối với tam thức bậc hai \(ax^2+bx+c\), biệt thức \(\Delta\) được tính bằng công thức:

\[ \Delta = b^2 – 4ac \]

Thay các hệ số \(a=1, b=-1, c=1\) vào công thức:

\[ \Delta = (-1)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 1 \]
\[ \Delta = 1 – 4 \]
\[ \Delta = -3 \]

Giải thích: Biệt thức \(\Delta\) giúp chúng ta xác định số nghiệm của phương trình \(ax^2+bx+c=0\), từ đó suy ra dấu của tam thức bậc hai. Nếu \(\Delta < 0\), phương trình không có nghiệm thực, có nghĩa là tam thức bậc hai không đổi dấu trên toàn miền số thực.

Bước 3: Xét dấu của tam thức bậc hai dựa vào \(a\) và \(\Delta\).

Chúng ta có:

• Hệ số \(a = 1 > 0\).
• Biệt thức \(\Delta = -3 < 0\).

Theo quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai (áp dụng cho trường hợp \(\Delta < 0\)):

Nếu \(a > 0\) và \(\Delta < 0\), thì \(ax^2+bx+c > 0\) với mọi giá trị của \(x \in \mathbb{R}\).

Giải thích: Khi \(\Delta < 0\), tam thức bậc hai không có nghiệm thực, đồ thị hàm số \(y=ax^2+bx+c\) không cắt trục hoành. Nếu thêm điều kiện \(a>0\), đồ thị là một parabol mở lên trên, nằm hoàn toàn phía trên trục hoành. Điều này có nghĩa là \(y\) (hay \(ax^2+bx+c\)) luôn dương với mọi \(x\).

Bước 4: Kết luận cho phương pháp 2.

Vì \(a=1>0\) và \(\Delta=-3<0\), nên biểu thức \(x^2-x+1\) luôn dương với mọi giá trị của \(x\) thuộc tập số thực. Tức là \(x^2-x+1>0\) luôn đúng.

Tổng kết:

Dựa trên cả hai phương pháp giải, chúng ta đều đi đến cùng một kết quả:

Bất đẳng thức \(x^2-x+1>0\) là ĐÚNG.

Nó đúng với mọi giá trị của biến \(x\) thuộc tập số thực \(\mathbb{R}\).

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững cách xét dấu của tam thức bậc hai và có thể tự tin giải các bài toán tương tự nhé!