Xác định hàm số y = ax^2 + bx + c biết đồ thị của hàm số là parabol có đỉnh I(3/…
Bài toán:
Xác định hàm số y = ax^2 + bx + c biết đồ thị của hàm số là parabol có đỉnh I(3/2 ; 1/4) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.
Phân tích bài toán:
Chúng ta cần tìm các hệ số a, b, c của hàm số bậc hai. Để xác định ba ẩn số này, chúng ta cần có ba phương trình độc lập. Đề bài đã cho chúng ta những thông tin quan trọng sau:
1. Đồ thị là một parabol.
2. Đỉnh của parabol là I(3/2 ; 1/4).
3. Parabol cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.
Giải bài toán:
Bước 1: Sử dụng thông tin về đỉnh của parabol.
Ta biết rằng, với hàm số bậc hai y = ax^2 + bx + c, tọa độ đỉnh I của parabol được cho bởi công thức:
I = (-b/(2a) ; -Δ/(4a))
trong đó Δ = b^2 – 4ac.
Từ đề bài, ta có đỉnh I(3/2 ; 1/4). Vậy ta có hai phương trình:
* Hoành độ đỉnh: -b/(2a) = 3/2
* Tung độ đỉnh: -Δ/(4a) = 1/4
Bước 2: Rút gọn phương trình từ hoành độ đỉnh.
Ta có:
-b/(2a) = 3/2
Nhân cả hai vế với 2a (với a ≠ 0 vì nếu a = 0 thì đây không còn là parabol nữa), ta được:
-b = 3a
hay
b = -3a (Phương trình 1)
Bước 3: Sử dụng thông tin về giao điểm với trục hoành.
Parabol cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2. Điều này có nghĩa là khi x = 2, giá trị của hàm số y = 0. Ta thay x = 2 vào công thức hàm số:
y = a(2)^2 + b(2) + c = 0
4a + 2b + c = 0 (Phương trình 2)
Bước 4: Sử dụng thông tin về tung độ đỉnh (hoặc một điểm khác trên parabol).
Chúng ta đã có hai phương trình. Chúng ta có thể sử dụng tung độ đỉnh hoặc thông tin về giao điểm với trục hoành để lập thêm một phương trình nữa. Tuy nhiên, để bài toán đơn giản hơn, ta có thể dùng thông tin về điểm thuộc parabol.
Điểm I(3/2 ; 1/4) là đỉnh của parabol, do đó, điểm này thuộc đồ thị hàm số. Thay tọa độ điểm I vào công thức hàm số:
1/4 = a(3/2)^2 + b(3/2) + c
1/4 = a(9/4) + (3/2)b + c
1/4 = 9a/4 + 3b/2 + c (Phương trình 3)
Bước 5: Giải hệ phương trình.
Bây giờ chúng ta có một hệ ba phương trình với ba ẩn a, b, c:
1. b = -3a
2. 4a + 2b + c = 0
3. 1/4 = 9a/4 + 3b/2 + c
Thay Phương trình 1 vào Phương trình 2:
4a + 2(-3a) + c = 0
4a – 6a + c = 0
-2a + c = 0
c = 2a (Phương trình 4)
Bây giờ ta có b và c theo a. Thay Phương trình 1 và Phương trình 4 vào Phương trình 3:
1/4 = 9a/4 + 3(-3a)/2 + (2a)
1/4 = 9a/4 – 9a/2 + 2a
Để giải phương trình này, chúng ta quy đồng mẫu số là 4:
1/4 = 9a/4 – 18a/4 + 8a/4
Nhân cả hai vế với 4:
1 = 9a – 18a + 8a
1 = -9a + 8a
1 = -a
a = -1
Bước 6: Tìm b và c.
Sau khi tìm được a = -1, ta thay vào Phương trình 1 để tìm b:
b = -3a = -3(-1) = 3
Thay a = -1 vào Phương trình 4 để tìm c:
c = 2a = 2(-1) = -2
Kết luận:
Vậy, hàm số cần tìm là y = -x^2 + 3x – 2.
Các em thân mến, chúng ta đã cùng nhau đi qua từng bước để giải bài toán này. Quan trọng là các em nắm vững các công thức liên quan đến đỉnh của parabol và cách sử dụng các điểm thuộc đồ thị để lập phương trình. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, các em cứ mạnh dạn hỏi nhé! Chúc các em học tốt!
Đáp án + Giải thích các bước giải:
Ta có:
Đồ thị của hàm số \(y = ax^2 + bx + c\) là parabol có đỉnh \(I\bigg(\dfrac{3}{2}; \dfrac{1}{4}\bigg)\)
\(\Rightarrow \begin {cases} \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{3}{2} \\ a\bigg(\dfrac{3}{2}\bigg)^2 + \dfrac{3}{2}b + c = \dfrac{1}{4}\end {cases}\)
\(\Leftrightarrow \begin {cases} -b = 3a \\ \dfrac{9}{4}a + \dfrac{3}{2}b + c = \dfrac{1}{4} \end {cases}\)
\(\Leftrightarrow \begin {cases} 3a + b = 0 \\ \dfrac{9}{4}a + \dfrac{3}{2}b + c = \dfrac{1}{4} \end {cases}(1)\)
Mặt khác, ta có:
Đồ thị hàm số \(y = ax^2 + bx + c\) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng \(2\)
\(\Rightarrow a(2^2) + 2b + c = 0\)
\(\Leftrightarrow 4a + 2b + c = 0(2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\), ta có:
\(\begin {cases} 3a + b = 0 \\ \dfrac{9}{4}a + \dfrac{3}{2}b + c = \dfrac{1}{4} \\ 4a + 2b + c = 0 \end {cases}\)
\(\Leftrightarrow \begin {cases} a = -1 \\ b = 3 \\ c = -2 \end {cases}\)
Vậy \(y = -x^2 + 3x – 2\)
Đáp án:
Giải thích các bước giải: