Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về cách xét dấu của các đa thức bậc 3 trở lên, đặc biệt là cách các em có thể gặp khó khăn với khái niệm “qua nghiệm đơn đổi dấu, qua nghiệm kép không đổi dấu”. Đây là một phần kiến thức rất quan trọng để giải các bài toán về bất phương trình, tìm cực trị hàm số,…

Cô sẽ giải thích cặn kẽ từng bước và đưa ra ví dụ minh họa dễ hiểu nhất nhé!

Trước hết, chúng ta cần hiểu “nghiệm của đa thức” là gì.

Định nghĩa nghiệm của đa thức:
Cho đa thức \(P(x)\). Nếu \(P(a) = 0\) thì \(a\) được gọi là một nghiệm của đa thức \(P(x)\).

Khi xét dấu của một đa thức, chúng ta quan tâm đến những điểm mà tại đó đa thức bằng 0, đó chính là các nghiệm của đa thức đó.

Bây giờ, chúng ta sẽ đi sâu vào vấn đề “nghiệm đơn” và “nghiệm kép”.

Nghiệm đơn và nghiệm kép:

* Nghiệm đơn: Là nghiệm mà đa thức chỉ có thể phân tích thành nhân tử \((x-a)\) với số mũ là 1.
* Nghiệm kép: Là nghiệm mà đa thức có thể phân tích thành nhân tử \((x-a)\) với số mũ là 2.

Nói một cách dễ hiểu hơn:
Nếu đa thức \(P(x)\) có thể viết dưới dạng:
\(P(x) = (x-a) \cdot Q(x)\), với \(Q(a) \neq 0\), thì \(a\) là nghiệm đơn.
\(P(x) = (x-a)^2 \cdot Q(x)\), với \(Q(a) \neq 0\), thì \(a\) là nghiệm kép.

Vậy “qua nghiệm đơn đổi dấu, qua nghiệm kép không đổi dấu” nghĩa là gì?

Khi chúng ta xét dấu của một đa thức \(P(x)\) trên trục số, chúng ta sẽ xác định các nghiệm của nó và sắp xếp chúng theo thứ tự tăng dần. Khoảng giữa hai nghiệm liên tiếp sẽ có dấu của đa thức là không đổi. Khi đi qua một nghiệm, dấu của đa thức sẽ thay đổi hoặc giữ nguyên tùy thuộc vào bậc của nghiệm đó.

* Qua nghiệm đơn đổi dấu: Khi chúng ta di chuyển trên trục số và đi qua một nghiệm đơn của đa thức, dấu của đa thức sẽ thay đổi từ dương sang âm hoặc từ âm sang dương.
* Qua nghiệm kép không đổi dấu: Khi chúng ta di chuyển trên trục số và đi qua một nghiệm kép của đa thức, dấu của đa thức sẽ giữ nguyên. Nó sẽ vẫn dương nếu trước đó là dương, và vẫn âm nếu trước đó là âm.

Tại sao lại có sự khác biệt này?

Sự khác biệt này xuất phát từ cách đa thức phân tích thành nhân tử.
Nếu \(P(x)\) có nghiệm đơn \(a\), tức là \(P(x) = (x-a) \cdot Q(x)\) với \(Q(a) \neq 0\). Khi đi qua \(a\), giá trị của \((x-a)\) sẽ đổi dấu (ví dụ, từ âm sang dương khi \(x\) tăng dần qua \(a\)). Vì \(Q(x)\) không đổi dấu đáng kể quanh \(a\) (do \(Q(a) \neq 0\)), nên dấu của \(P(x)\) sẽ bị chi phối bởi sự đổi dấu của \((x-a)\).

Nếu \(P(x)\) có nghiệm kép \(a\), tức là \(P(x) = (x-a)^2 \cdot Q(x)\) với \(Q(a) \neq 0\). Khi đi qua \(a\), giá trị của \((x-a)^2\) sẽ KHÔNG đổi dấu (nó luôn dương khi \(x \neq a\)). Vì \((x-a)^2\) luôn dương, nên dấu của \(P(x)\) sẽ hoàn toàn phụ thuộc vào dấu của \(Q(x)\). Do \(Q(a) \neq 0\), \(Q(x)\) không đổi dấu đáng kể quanh \(a\), nên dấu của \(P(x)\) sẽ giữ nguyên khi đi qua nghiệm kép \(a\).

Bây giờ, chúng ta sẽ cùng xem một ví dụ minh họa để hiểu rõ hơn nhé!

Ví dụ 1: Xét dấu của đa thức \(P(x) = x^3 – 6x^2 + 11x – 6\).

Bước 1: Tìm nghiệm của đa thức.
Chúng ta cần tìm các giá trị của \(x\) sao cho \(P(x) = 0\).
Thử nhẩm các ước của -6: \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\).
Ta thấy:
\(P(1) = 1^3 – 6(1)^2 + 11(1) – 6 = 1 – 6 + 11 – 6 = 0\). Vậy \(x=1\) là một nghiệm.
\(P(2) = 2^3 – 6(2)^2 + 11(2) – 6 = 8 – 24 + 22 – 6 = 0\). Vậy \(x=2\) là một nghiệm.
\(P(3) = 3^3 – 6(3)^2 + 11(3) – 6 = 27 – 54 + 33 – 6 = 0\). Vậy \(x=3\) là một nghiệm.

Bước 2: Phân tích đa thức thành nhân tử.
Vì \(x=1, x=2, x=3\) là các nghiệm, đa thức có thể phân tích thành:
\(P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)\)

Quan sát các nhân tử, ta thấy mỗi nhân tử \((x-1), (x-2), (x-3)\) đều có số mũ là 1. Do đó, \(x=1, x=2, x=3\) đều là các nghiệm đơn.

Bước 3: Lập bảng xét dấu.
Sắp xếp các nghiệm theo thứ tự tăng dần: 1, 2, 3.

Chúng ta chia trục số thành các khoảng: \((-\infty, 1), (1, 2), (2, 3), (3, +\infty)\).

* Chọn một giá trị thử trong khoảng \((3, +\infty)\): Ví dụ \(x=4\).
\(P(4) = (4-1)(4-2)(4-3) = (3)(2)(1) = 6 > 0\).
Vậy đa thức \(P(x)\) mang dấu dương trên khoảng \((3, +\infty)\).

* Qua nghiệm \(x=3\) (nghiệm đơn): Dấu của đa thức sẽ đổi từ dương sang âm.
Vậy trên khoảng \((2, 3)\), \(P(x)\) mang dấu âm.

* Qua nghiệm \(x=2\) (nghiệm đơn): Dấu của đa thức sẽ đổi từ âm sang dương.
Vậy trên khoảng \((1, 2)\), \(P(x)\) mang dấu dương.

* Qua nghiệm \(x=1\) (nghiệm đơn): Dấu của đa thức sẽ đổi từ dương sang âm.
Vậy trên khoảng \((-\infty, 1)\), \(P(x)\) mang dấu âm.

Ta có bảng xét dấu như sau:

x | -inf 1 2 3 +inf
——- | ——– ——– ——– ——– ——–
P(x) | – 0 + 0 – 0 +

Nhìn vào bảng xét dấu, các em thấy:
– Khi đi qua nghiệm 3 (nghiệm đơn), dấu đổi từ + sang -.
– Khi đi qua nghiệm 2 (nghiệm đơn), dấu đổi từ – sang +.
– Khi đi qua nghiệm 1 (nghiệm đơn), dấu đổi từ + sang -.

Đây chính là tính chất “qua nghiệm đơn đổi dấu”.

Ví dụ 2: Xét dấu của đa thức \(Q(x) = (x-1)^2 (x+2)\).

Bước 1: Tìm nghiệm của đa thức.
Ta thấy ngay các nghiệm là \(x=1\) và \(x=-2\).

Bước 2: Xác định bậc của nghiệm.
* Nghiệm \(x=1\) xuất hiện với số mũ là 2 trong nhân tử \((x-1)^2\). Vậy \(x=1\) là nghiệm kép.
* Nghiệm \(x=-2\) xuất hiện với số mũ là 1 trong nhân tử \((x+2)\). Vậy \(x=-2\) là nghiệm đơn.

Bước 3: Lập bảng xét dấu.
Sắp xếp các nghiệm theo thứ tự tăng dần: -2, 1.

Chia trục số thành các khoảng: \((-\infty, -2), (-2, 1), (1, +\infty)\).

* Chọn một giá trị thử trong khoảng \((1, +\infty)\): Ví dụ \(x=2\).
\(Q(2) = (2-1)^2 (2+2) = (1)^2 (4) = 1 \cdot 4 = 4 > 0\).
Vậy đa thức \(Q(x)\) mang dấu dương trên khoảng \((1, +\infty)\).

* Qua nghiệm \(x=1\) (nghiệm kép): Dấu của đa thức không đổi.
Vì trước đó là dương, nên sau nghiệm \(x=1\) (vẫn trong khoảng tính toán), đa thức vẫn mang dấu dương.
Vậy trên khoảng \((-2, 1)\), \(Q(x)\) mang dấu dương.

* Qua nghiệm \(x=-2\) (nghiệm đơn): Dấu của đa thức sẽ đổi.
Vì trước đó là dương, nên sau nghiệm \(x=-2\) (trong khoảng \((-\infty, -2)\)), đa thức sẽ mang dấu âm.
Vậy trên khoảng \((-\infty, -2)\), \(Q(x)\) mang dấu âm.

Ta có bảng xét dấu như sau:

x | -inf -2 1 +inf
——- | ——– ——– ——– ——–
Q(x) | – 0 + 0 +

Nhìn vào bảng xét dấu, các em thấy:
– Khi đi qua nghiệm -2 (nghiệm đơn), dấu đổi từ – sang +.
– Khi đi qua nghiệm 1 (nghiệm kép), dấu không đổi, vẫn là +.

Đây chính là tính chất “qua nghiệm kép không đổi dấu”.

Ví dụ 3: Xét dấu của đa thức \(R(x) = (x-5)^3 (x+1)^2 (x-2)\).

Bước 1: Tìm nghiệm và xác định bậc.
* \(x=5\) là nghiệm đơn (do mũ 3 là lẻ, tuy là nghiệm bội 3, nhưng xét về tính đổi dấu thì nó giống nghiệm đơn). Tuy nhiên, để tránh nhầm lẫn, chúng ta sẽ xem xét đa thức \((x-5)^3\). Khi \(x\) đi qua 5, \((x-5)\) đổi dấu, và vì mũ 3 là lẻ nên \((x-5)^3\) cũng đổi dấu.
* \(x=-1\) là nghiệm kép (do mũ 2 là chẵn).
* \(x=2\) là nghiệm đơn (do mũ 1 là lẻ).

Bước 2: Lập bảng xét dấu.
Các nghiệm sắp xếp theo thứ tự tăng dần: -1, 2, 5.
Khoảng ngoài cùng bên phải \((5, +\infty)\):
Chọn \(x=6\).
\(R(6) = (6-5)^3 (6+1)^2 (6-2) = (1)^3 (7)^2 (4) = 1 \cdot 49 \cdot 4 > 0\).
Vậy trên \((5, +\infty)\) là dấu +.

* Qua nghiệm \(x=5\) (nghiệm với số mũ lẻ, coi như nghiệm đơn về tính đổi dấu): Dấu đổi.
Trên \((2, 5)\): Dấu -.

* Qua nghiệm \(x=2\) (nghiệm đơn): Dấu đổi.
Trên \((-1, 2)\): Dấu +.

* Qua nghiệm \(x=-1\) (nghiệm kép): Dấu không đổi.
Trên \((-\infty, -1)\): Dấu +.

Bảng xét dấu:

x | -inf -1 2 5 +inf
——- | ——– ——– ——– ——– ——–
R(x) | + 0 + 0 – 0 +

Trong ví dụ này, \(x=5\) có mũ 3. Khi đi qua 5, \((x-5)^3\) đổi dấu. Nên nó cũng tuân theo quy tắc “qua nghiệm đơn đổi dấu”. Nghiệm kép chỉ xảy ra khi mũ chẵn.

Tóm lại:
– Khi đa thức có nhân tử \((x-a)^k\):
– Nếu \(k\) là số lẻ (nghiệm đơn, nghiệm bội 3, 5, …), khi đi qua nghiệm \(a\), dấu của đa thức sẽ đổi.
– Nếu \(k\) là số chẵn (nghiệm kép, nghiệm bội 4, 6, …), khi đi qua nghiệm \(a\), dấu của đa thức sẽ giữ nguyên.

Cách dễ nhất để nhớ là:
* Mũ lẻ –> Đổi dấu
* Mũ chẵn –> Không đổi dấu

Các em cứ thử vẽ trục số và đánh dấu các nghiệm, sau đó chọn một giá trị thử ở khoảng ngoài cùng bên phải để xác định dấu. Rồi lần lượt đi qua từng nghiệm và áp dụng quy tắc trên để suy ra dấu của các khoảng còn lại.

Hy vọng với những giải thích và ví dụ chi tiết này, các em đã hiểu rõ hơn về cách xét dấu của đa thức, đặc biệt là với nghiệm đơn và nghiệm kép. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!