Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về tính đơn điệu của hàm số, một kiến thức rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 12. Chúng ta sẽ bắt đầu với một bài tập cụ thể dựa trên Sách giáo khoa.

Bài tập của chúng ta hôm nay là xét tính đơn điệu của hàm số \(y = \sqrt{9-x^2}\).

Để xét tính đơn điệu của một hàm số, chúng ta thường dựa vào dấu của đạo hàm của nó.
Các bước thực hiện như sau:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Hàm số \(y = \sqrt{9-x^2}\) có nghĩa là biểu thức dưới dấu căn phải không âm.
Do đó, ta có điều kiện:
\(9 – x^2 \ge 0\)

Để giải bất phương trình này, chúng ta có thể phân tích thành nhân tử:
\((3-x)(3+x) \ge 0\)

Ta xét dấu của từng nhân tử:
* \(3-x = 0 \implies x = 3\)
* \(3+x = 0 \implies x = -3\)

Lập bảng xét dấu:

| Khoảng | \(3-x\) | \(3+x\) | \(9-x^2\) |
|————-|———|———|———–|
| \(x < -3\) | + | - | - | | \(x = -3\) | + | 0 | 0 | | \(-3 < x < 3\) | + | + | + | | \(x = 3\) | 0 | + | 0 | | \(x > 3\) | – | + | – |

Dựa vào bảng xét dấu, \(9-x^2 \ge 0\) khi và chỉ khi \(-3 \le x \le 3\).
Vậy, tập xác định của hàm số là \(D = [-3, 3]\).

Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số.

Ta có công thức tính đạo hàm của hàm căn bậc hai:
Nếu \(y = \sqrt{u(x)}\) thì \(y’ = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}\).

Trong trường hợp này, \(u(x) = 9-x^2\).
Vậy, \(u'(x) = (9-x^2)’ = -2x\).

Áp dụng công thức, ta có đạo hàm của hàm số là:
\(y’ = \frac{-2x}{2\sqrt{9-x^2}}\)
\(y’ = \frac{-x}{\sqrt{9-x^2}}\)

Lưu ý: Đạo hàm này chỉ xác định khi \(9-x^2 > 0\), tức là \(-3 < x < 3\). Bước 3: Xét dấu của đạo hàm.

Chúng ta cần xét dấu của \(y’ = \frac{-x}{\sqrt{9-x^2}}\) trên khoảng \((-3, 3)\).
Do \(\sqrt{9-x^2} > 0\) với mọi \(x\) thuộc khoảng \((-3, 3)\), nên dấu của \(y’\) phụ thuộc vào dấu của \( -x \).

* Nếu \( -x > 0 \), tức là \( x < 0 \). Trên khoảng \((-3, 0)\), ta có \(x < 0\), do đó \(-x > 0\).
Vậy, \(y’ > 0\) trên khoảng \((-3, 0)\).

* Nếu \( -x < 0 \), tức là \( x > 0 \).
Trên khoảng \((0, 3)\), ta có \(x > 0\), do đó \(-x < 0\). Vậy, \(y' < 0\) trên khoảng \((0, 3)\). * Nếu \( -x = 0 \), tức là \( x = 0 \). Tại \(x = 0\), \(y' = 0\). Bước 4: Kết luận về tính đơn điệu của hàm số.

Dựa vào dấu của đạo hàm, chúng ta có kết luận sau:

* Hàm số đồng biến trên khoảng mà \(y’ > 0\).
Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng \((-3, 0)\).

* Hàm số nghịch biến trên khoảng mà \(y’ < 0\). Vậy, hàm số nghịch biến trên khoảng \((0, 3)\). Chúng ta cũng cần xem xét các điểm mút của tập xác định. Tuy đạo hàm không xác định tại các điểm mút, nhưng chúng ta có thể kết luận tính đơn điệu trên các đoạn đóng dựa trên tính đơn điệu trên các khoảng mở liền kề. * Vì hàm số đồng biến trên \((-3, 0)\) và liên tục trên \([-3, 0]\), nên hàm số đồng biến trên đoạn \([-3, 0]\). * Vì hàm số nghịch biến trên \((0, 3)\) và liên tục trên \([0, 3]\), nên hàm số nghịch biến trên đoạn \([0, 3]\). Tóm lại:
Hàm số \(y = \sqrt{9-x^2}\)
– Đồng biến trên đoạn \([-3, 0]\).
– Nghịch biến trên đoạn \([0, 3]\).

Đây là toàn bộ quá trình xét tính đơn điệu của hàm số \(y = \sqrt{9-x^2}\) theo đúng quy trình của Sách giáo khoa. Các em về nhà làm thêm các bài tập tương tự để nắm vững kiến thức nhé! Chúc các em học tốt!