Chào các em học sinh yêu quý của cô! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán khá thú vị liên quan đến lũy thừa và phân số nhé. Bài toán này nằm trong chương trình Toán lớp 7 của chúng ta.

Đề bài của chúng ta là tính giá trị của biểu thức sau:
(1/2^2 -1).(1/3^2 -1) .(1/4^2 -1)…(1/2025^2 -1)

Cô sẽ hướng dẫn các em từng bước để giải bài toán này một cách chi tiết nhất.

Bước 1: Phân tích từng thừa số trong biểu thức.
Trước hết, chúng ta hãy cùng nhau xem xét từng thừa số của biểu thức này. Các thừa số đều có dạng \( \frac{1}{n^2} – 1 \), với \( n \) bắt đầu từ 2 và kết thúc là 2025.

Chúng ta sẽ áp dụng quy tắc trừ phân số với mẫu số chung. Ở đây, 1 có thể được viết dưới dạng \( \frac{n^2}{n^2} \).
Vậy, ta có:
\( \frac{1}{n^2} – 1 = \frac{1}{n^2} – \frac{n^2}{n^2} = \frac{1 – n^2}{n^2} \)

Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ \( a^2 – b^2 = (a-b)(a+b) \) để phân tích tử số \( 1 – n^2 \). Ở đây, \( a=1 \) và \( b=n \).
Vậy, \( 1 – n^2 = (1-n)(1+n) \).

Kết hợp lại, ta có dạng tổng quát của mỗi thừa số là:
\( \frac{1 – n^2}{n^2} = \frac{(1-n)(1+n)}{n^2} \)

Bước 2: Viết lại các thừa số của biểu thức dưới dạng phân tích.
Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng kết quả vừa tìm được cho từng thừa số trong đề bài:

Thừa số thứ nhất (với \( n=2 \)):
\( \frac{1}{2^2} – 1 = \frac{(1-2)(1+2)}{2^2} = \frac{(-1)(3)}{2^2} \)

Thừa số thứ hai (với \( n=3 \)):
\( \frac{1}{3^2} – 1 = \frac{(1-3)(1+3)}{3^2} = \frac{(-2)(4)}{3^2} \)

Thừa số thứ ba (với \( n=4 \)):
\( \frac{1}{4^2} – 1 = \frac{(1-4)(1+4)}{4^2} = \frac{(-3)(5)}{4^2} \)

…

Thừa số cuối cùng (với \( n=2025 \)):
\( \frac{1}{2025^2} – 1 = \frac{(1-2025)(1+2025)}{2025^2} = \frac{(-2024)(2026)}{2025^2} \)

Bước 3: Ghép các thừa số lại và rút gọn.
Bây giờ, chúng ta sẽ nhân tất cả các thừa số đã phân tích lại với nhau:

Biểu thức đã cho bằng:
\( \left(\frac{(-1)(3)}{2^2}\right) \times \left(\frac{(-2)(4)}{3^2}\right) \times \left(\frac{(-3)(5)}{4^2}\right) \times \dots \times \left(\frac{(-2024)(2026)}{2025^2}\right) \)

Chúng ta có thể tách phần tử số và mẫu số ra:
\( \frac{(-1) \times 3 \times (-2) \times 4 \times (-3) \times 5 \times \dots \times (-2024) \times 2026}{2^2 \times 3^2 \times 4^2 \times \dots \times 2025^2} \)

Bây giờ, chúng ta sẽ gom các số lại theo một trật tự hợp lý hơn để dễ rút gọn.
Tử số sẽ là: \( (-1) \times (-2) \times (-3) \times \dots \times (-2024) \times 3 \times 4 \times 5 \times \dots \times 2026 \)
Mẫu số sẽ là: \( (2 \times 3 \times 4 \times \dots \times 2025) \times (2 \times 3 \times 4 \times \dots \times 2025) \)

Hãy đếm xem có bao nhiêu thừa số âm ở tử số. Các số hạng âm là từ -1 đến -2024, có 2024 số hạng. Vì 2024 là số chẵn, nên tích của các số âm này sẽ là một số dương.
Phần tích các số âm là: \( (-1) \times (-2) \times \dots \times (-2024) = 1 \times 2 \times \dots \times 2024 \)

Vậy, tử số là: \( (1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 2024) \times (3 \times 4 \times 5 \times \dots \times 2026) \)
Và mẫu số là: \( (2 \times 3 \times 4 \times \dots \times 2025) \times (2 \times 3 \times 4 \times \dots \times 2025) \)

Biểu thức trở thành:
\( \frac{(1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 2024) \times (3 \times 4 \times 5 \times \dots \times 2026)}{(2 \times 3 \times 4 \times \dots \times 2025) \times (2 \times 3 \times 4 \times \dots \times 2025)} \)

Bây giờ, chúng ta sẽ tiến hành rút gọn.
Quan sát tử số: \( (1 \times 2 \times \dots \times 2024) \) và mẫu số thứ nhất: \( (2 \times 3 \times \dots \times 2025) \).
Ta có thể rút gọn các thừa số chung là \( 2, 3, \dots, 2024 \).
Phần còn lại từ tử số là 1.
Phần còn lại từ mẫu số thứ nhất là 2025.

Quan sát tử số thứ hai: \( (3 \times 4 \times \dots \times 2026) \) và mẫu số thứ hai: \( (2 \times 3 \times \dots \times 2025) \).
Ta có thể rút gọn các thừa số chung là \( 3, 4, \dots, 2025 \).
Phần còn lại từ tử số thứ hai là 2026.
Phần còn lại từ mẫu số thứ hai là 2.

Vậy, sau khi rút gọn, biểu thức của chúng ta sẽ là:
\( \frac{1}{2025} \times \frac{2026}{2} \)

Bước 4: Tính kết quả cuối cùng.
Bây giờ, chúng ta chỉ việc nhân hai phân số này lại với nhau:
\( \frac{1}{2025} \times \frac{2026}{2} = \frac{1 \times 2026}{2025 \times 2} = \frac{2026}{4050} \)

Chúng ta có thể rút gọn phân số này thêm một lần nữa bằng cách chia cả tử và mẫu cho 2.
\( \frac{2026 \div 2}{4050 \div 2} = \frac{1013}{2025} \)

Vậy, giá trị của biểu thức đã cho là \( \frac{1013}{2025} \).

Các em thấy không, bài toán này tuy nhìn ban đầu có vẻ phức tạp nhưng nếu chúng ta biết cách phân tích, áp dụng các kiến thức đã học một cách hợp lý thì sẽ trở nên rất dễ dàng. Cô hy vọng các em đã hiểu rõ từng bước giải. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!