Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thú vị liên quan đến chuỗi số. Các em hãy cùng chú ý theo dõi nhé.

Bài toán của chúng ta là tính tổng: 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100

Đây là một dạng toán tổng của một dãy tích. Để giải bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta sẽ sử dụng một phương pháp đặc biệt.

Bước 1: Nhận dạng quy luật của dãy số

Các em quan sát các số hạng trong tổng:
Số hạng thứ nhất: 1.2
Số hạng thứ hai: 2.3
Số hạng thứ ba: 3.4
…
Số hạng thứ 99: 99.100

Ta thấy rằng, mỗi số hạng có dạng tích của hai số tự nhiên liên tiếp. Số hạng thứ n có dạng n(n+1).

Bước 2: Nhân cả hai vế của tổng với một số thích hợp

Để làm xuất hiện các hiệu có thể rút gọn, chúng ta sẽ nhân cả hai vế của tổng với 3. Gọi S là tổng cần tính.

S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100

Nhân cả hai vế với 3, ta được:
3S = 3 * (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100)
3S = 3.1.2 + 3.2.3 + 3.3.4 + … + 3.99.100

Bước 3: Biến đổi mỗi số hạng để tạo ra hiệu

Bây giờ, chúng ta sẽ biến đổi mỗi số hạng ở vế phải sao cho nó có dạng hiệu của hai số hạng. Ta sẽ sử dụng công thức sau:
n(n+1) = n(n+1) * 3 / 3 = (3n(n+1)) / 3

Chúng ta sẽ tách 3n(n+1) thành (n+2) – (n-1) không đúng.
Ta sẽ tách 3n(n+1) = n(n+1)(n+2) – (n-1)n(n+1) ? Không đúng.

Chúng ta cần biến đổi 3 n (n+1) sao cho nó có dạng hiệu.
Quan sát công thức sau:
(n+1)(n+2) – n(n+1) = (n+1) ((n+2) – n) = (n+1) 2 = 2(n+1).
Công thức này gần giống với các số hạng, nhưng lại là 2(n+1) thay vì n(n+1).

Hãy thử một cách biến đổi khác. Ta sẽ biến đổi 3 n (n+1) như sau:
3 n (n+1) = n (n+1) 3

Chúng ta cần biểu diễn n(n+1) bằng một hiệu. Hãy thử với công thức:
k(k+1)(k+2) – (k-1)k(k+1)
= k(k+1) * ((k+2) – (k-1))
= k(k+1) * (k+2 – k + 1)
= k(k+1) * 3
= 3k(k+1)

Vậy, ta có thể viết lại mỗi số hạng của 3S như sau:
Số hạng thứ nhất: 3.1.2 = 1.2.3 – 0.1.2 (Nếu ta coi k=1)
Số hạng thứ hai: 3.2.3 = 2.3.4 – 1.2.3 (Nếu ta coi k=2)
Số hạng thứ ba: 3.3.4 = 3.4.5 – 2.3.4 (Nếu ta coi k=3)
…
Số hạng cuối: 3.99.100 = 99.100.101 – 98.99.100 (Nếu ta coi k=99)

Vậy, ta có:
3S = (1.2.3 – 0.1.2) + (2.3.4 – 1.2.3) + (3.4.5 – 2.3.4) + … + (99.100.101 – 98.99.100)

Bước 4: Rút gọn các số hạng

Quan sát biểu thức của 3S, ta thấy đây là một dạng tổng có hiệu (telescoping sum). Các số hạng trung gian sẽ triệt tiêu lẫn nhau:
-1.2.3 sẽ triệt tiêu với +1.2.3
-2.3.4 sẽ triệt tiêu với +2.3.4
…
-98.99.100 sẽ triệt tiêu với +98.99.100 (nếu có số hạng 98.99.100)

Sau khi rút gọn, chúng ta chỉ còn lại số hạng đầu tiên và số hạng cuối cùng:
3S = -0.1.2 + 99.100.101
3S = 0 + 99.100.101
3S = 99.100.101

Bước 5: Tính toán kết quả cuối cùng

Bây giờ, chúng ta chỉ cần tính giá trị của 99.100.101:
99 * 100 = 9900
9900 101 = 9900 (100 + 1) = 9900 100 + 9900 1 = 990000 + 9900 = 999900

Vậy, ta có 3S = 999900.

Để tìm S, chúng ta chia cả hai vế cho 3:
S = 999900 / 3
S = 333300

Vậy, kết quả của phép tính 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100 là 333300.

Công thức tổng quát (dành cho các em lớp lớn hơn hoặc để tham khảo)

Ta có thể đưa ra công thức tổng quát cho dạng bài này:
1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n(n+1) = \[ \frac{n(n+1)(n+2)}{3} \]

Trong bài toán này, n = 99.
Vậy, tổng S = \[ \frac{99(99+1)(99+2)}{3} \]
S = \[ \frac{99 \times 100 \times 101}{3} \]
S = 33 \times 100 \times 101
S = 3300 \times 101
S = 333300

Các em thấy không, với phương pháp này, bài toán trở nên rất đơn giản phải không nào? Chúc các em ôn tập tốt!